arkusz.ai

Geometria analityczna

Geometria analityczna łączy dwa światy: figury geometryczne i liczby. Punkty zapisujemy parami współrzędnych, a proste równaniami. Dzięki temu zadania geometryczne rozwiązujesz rachunkiem, bez zgadywania z rysunku.

1. Punkty w układzie współrzędnych

Każdy punkt na płaszczyźnie opisujemy parą liczb, na przykład $A = (3, 2)$ . Pierwsza liczba to współrzędna pozioma, druga pionowa.

Układ współrzędnych tworzą dwie prostopadłe osie: pozioma oś $x$ i pionowa oś $y$ . Przecinają się one w punkcie $(0, 0)$ , który nazywamy początkiem układu.

2. Odległość dwóch punktów

Odległość między dwoma punktami liczymy wzorem, który jest w gruncie rzeczy twierdzeniem Pitagorasa zapisanym na współrzędnych.

Bierzesz różnicę współrzędnych poziomych i pionowych, podnosisz obie do kwadratu, dodajesz, a na końcu wyciągasz pierwiastek. Wynik to długość odcinka łączącego te punkty.

3. Środek odcinka

Środek odcinka to punkt leżący dokładnie w połowie drogi między jego końcami. Jego współrzędne liczy się wyjątkowo prosto.

Bierzesz średnią arytmetyczną współrzędnych poziomych obu końców i osobno średnią współrzędnych pionowych. Te dwie liczby to współrzędne środka.

4. Równanie prostej

Prostą najczęściej zapisujemy w postaci kierunkowej $y = ax + b$ . Liczba $a$ to współczynnik kierunkowy, który mówi o nachyleniu prostej.

Liczba $b$ to miejsce, w którym prosta przecina oś $y$ . Gdy $a$ jest dodatnie, prosta rośnie, a gdy ujemne, maleje.

5. Proste równoległe i prostopadłe

O wzajemnym położeniu dwóch prostych decydują ich współczynniki kierunkowe. Proste równoległe mają identyczny współczynnik kierunkowy.

Proste prostopadłe spełniają warunek, że iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy $-1$ . To bardzo wygodne kryterium, bo wystarczy spojrzeć na same liczby $a$ .

NAJWAŻNIEJSZE WZORY

Odległość punktów

$|AB| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Środek odcinka

$S = \left( \dfrac{x_1 + x_2}{2},\ \dfrac{y_1 + y_2}{2} \right)$

Równanie kierunkowe prostej

$y = ax + b$

Współczynnik kierunkowy

$a = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Proste równoległe

$a_1 = a_2$

Proste prostopadłe

$a_1 \cdot a_2 = -1$

💡

Szybki tip maturalny

Gdy w zadaniu pojawiają się słowa równoległa albo prostopadła, od razu skup się na współczynnikach kierunkowych. Dla prostych równoległych są one równe, a dla prostopadłych ich iloczyn wynosi minus jeden. To skraca większość takich zadań do jednego działania.

Korepetytor rozwiązuje na żywo

Wygenerowano automatycznie w arkusz.ai

Dane są punkty $A=(-1,2)$ i $B=(5,6)$ . Wyznacz środek odcinka $AB$ oraz jego długość.

Środek odcinka ma współrzędne średnich arytmetycznych: $S=(\frac{-1+5}{2},\frac{2+6}{2})$ .

Stąd $S=(2,4)$ .

Długość liczę ze wzoru: $|AB|=\sqrt{(5-(-1))^2+(6-2)^2}$ .

Otrzymuję $|AB|=\sqrt{36+16}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$ .

Wynik:

$S=(2,4)$ , $|AB|=2\sqrt{13}$ .

PRZYKŁADOWE ZADANIA

Łatwe1 pkt

Matura podstawowa, majowa 2026, zad. 26

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ dana jest prosta $k$ o równaniu $y = -\dfrac{1}{3}x + 2$ . Prosta $l$ jest równoległa do prostej $k$ i przechodzi przez punkt $(2, -2)$ . Prosta $l$ przecina oś $Oy$ w punkcie: A) $(0, -3)$ , B) $\left(0, -\dfrac{1}{2}\right)$ , C) $(0, -1)$ , D) $\left(0, -\dfrac{4}{3}\right)$ .

Średnie2 pkt

Matura podstawowa, majowa 2024, zad. 24

W równoległoboku $ABCD$ punkt $P = (6, 7)$ jest punktem przecięcia przekątnych. Dane są punkty $A = (-2, 6)$ i $B = (10, 2)$ . Oblicz długość boku $BC$ .

Trudne4 pkt

Matura podstawowa, majowa 2026, zad. 24

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ punkty $A=(-3,0)$ oraz $C=(5,6)$ są końcami przekątnej kwadratu $ABCD$ . Kwadrat $A'B'C'D'$ jest obrazem kwadratu $ABCD$ w symetrii osiowej względem osi $Oy$ . Wyznacz równanie okręgu opisanego na kwadracie $A'B'C'D'$ .

Często zadawane pytania

Poćwicz w praktyce

Zadania maturalne z tego działu

Oficjalne zadania CKE z działu Geometria analityczna - z pełnymi rozwiązaniami krok po kroku.

Wszystkie zadania

Zadanie 202026 maj

Na płaszczyźnie dane są cztery proste: $k$ , $l$ , $m$ oraz $n$ . Proste $k$ oraz $l$ są równoległe. Prosta $m$ przecina proste $k$ oraz $l$ w punktach - odpowiednio - $A$ oraz $C$ . Prosta $n$ przecina proste $k$ oraz $l$ w punktach - odpowiednio - $D$ oraz $B$ . Odcinki $AC$ i $BD$ przecinają się w punkcie $O$ . Ponadto $|OA| = 12$ , $|OB| = 6$ oraz $|OC| = 8$ (rysunek w arkuszu). Odcinek $OD$ ma długość

Rozwiąż zadanie

Zadanie 232026 próbna

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ proste $k$ oraz $l$ są określone równaniami $k: (m-1)x+3y+5=0$ , $l: 6x+y+7=0$ . Proste $k$ oraz $l$ są równoległe, gdy liczba $m$ jest równa

Rozwiąż zadanie

Zadanie 132025 czerwiec

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ wykres funkcji kwadratowej $f$ przechodzi przez punkt $(2,15)$ . Osią symetrii tego wykresu jest prosta o równaniu $x=-1$ . Jednym z miejsc zerowych funkcji $f$ jest liczba 1. Wyznacz wzór funkcji $f$ w postaci kanonicznej.

Rozwiąż zadanie

Zadanie 222025 maj

W kartezjanskim ukladzie wspolrzednych $(x,y)$ dany jest kwadrat $ABCD$ , w ktorym $A = (4,-1)$ . Przekatne tego kwadratu przecinaja sie w punkcie $S = (1,3)$ . Przekatna kwadratu $ABCD$ ma dlugosc

Rozwiąż zadanie