Równania i nierówności

Równanie liniowe to najprostszy przypadek, na przykład $3x - 12 = 0$. Niewiadoma występuje tu tylko w pierwszej potędze. Rozwiązanie polega na osamotnieniu $x$ po jednej stronie.

Przenosisz wyrazy z liczbami na jedną stronę, wyrazy z $x$ na drugą, a na końcu dzielisz obie strony przez współczynnik przy $x$. Każde takie równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie, o ile ten współczynnik nie jest zerem.

Równanie kwadratowe ma postać $ax^2 + bx + c = 0$. Tutaj kluczem jest delta, czyli wyróżnik $\Delta = b^2 - 4ac$.

Gdy delta jest dodatnia, równanie ma dwa rozwiązania, które liczysz ze wzoru $x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$. Gdy delta jest równa zeru, rozwiązanie jest jedno. Gdy ujemna, równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych.

Jeśli równanie da się zapisać jako iloczyn równy zeru, rozwiązanie jest błyskawiczne. Korzystamy z prostej zasady: iloczyn jest równy zeru tylko wtedy, gdy przynajmniej jeden z czynników jest zerem.

Z równania $(x-2)(x+5) = 0$ od razu odczytujesz dwa rozwiązania: $x = 2$ oraz $x = -5$. Dlatego rozkład na czynniki tak bardzo się opłaca.

Nierówność liniową rozwiązuje się prawie tak samo jak równanie. Przenosisz wyrazy i porządkujesz strony. Jest jednak jedna pułapka, o której trzeba pamiętać.

Gdy dzielisz lub mnożysz obie strony przez liczbę ujemną, znak nierówności się odwraca. Z $-2x < 6$ po podzieleniu przez $-2$ robi się $x > -3$. To najczęstszy błąd w całym dziale.

Przy nierówności kwadratowej najpierw traktujesz ją jak równanie i liczysz miejsca zerowe trójmianu. Potem patrzysz na znak współczynnika $a$.

Jeśli $a$ jest dodatnie, parabola jest uśmiechnięta i przyjmuje wartości ujemne między pierwiastkami, a dodatnie na zewnątrz. Naszkicowanie paraboli zajmuje chwilę, a ratuje przed błędem w odczytaniu rozwiązania.