arkusz.ai

Układy równań

Układ równań to dwa warunki, które muszą być spełnione jednocześnie. Na maturze prawie zawsze chodzi o dwa równania z dwiema niewiadomymi. Masz do dyspozycji dwie sprawdzone metody i wystarczy wybrać wygodniejszą.

1. Metoda podstawiania

W metodzie podstawiania z jednego równania wyznaczasz jedną niewiadomą, na przykład $y$ , a potem wstawiasz to wyrażenie do drugiego równania.

Po podstawieniu zostaje Ci jedno równanie z jedną niewiadomą, które już umiesz rozwiązać. Gdy znasz jedną wartość, drugą liczysz, wracając do wcześniej wyznaczonego wyrażenia.

2. Metoda przeciwnych współczynników

W tej metodzie tak przekształcasz równania, żeby współczynniki przy jednej niewiadomej były liczbami przeciwnymi. Wtedy po dodaniu równań stronami ta niewiadoma znika.

Jeśli w jednym równaniu masz $+y$ , a w drugim $-y$ , ich suma daje zero. Zostaje równanie z jedną niewiadomą. Ta metoda jest szczególnie wygodna, gdy współczynniki są okrągłe.

3. Interpretacja graficzna

Każde równanie z dwiema niewiadomymi można narysować jako prostą w układzie współrzędnych. Rozwiązaniem układu jest punkt, w którym te proste się przecinają.

To bardzo pomaga zrozumieć, dlaczego niektóre układy mają jedno rozwiązanie, a inne wcale. Wszystko zależy od tego, jak proste są położone względem siebie.

4. Układy oznaczone, sprzeczne i nieoznaczone

Układ oznaczony ma dokładnie jedno rozwiązanie, bo proste przecinają się w jednym punkcie. To najczęstszy przypadek na maturze.

Układ sprzeczny nie ma rozwiązań, bo proste są równoległe i nigdy się nie spotykają. Układ nieoznaczony ma nieskończenie wiele rozwiązań, bo oba równania opisują tę samą prostą.

NAJWAŻNIEJSZE WZORY

Postać układu

$\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}$

Wyznaczenie y z równania

$y = \dfrac{c_1 - a_1x}{b_1}$

Wyznaczenie x z równania

$x = \dfrac{c_1 - b_1y}{a_1}$

Dodawanie równań stronami

$(a_1 + a_2)x + (b_1 + b_2)y = c_1 + c_2$

Mnożenie równania przez liczbę

$k(a_1x + b_1y) = k c_1$

Sprawdzenie rozwiązania

$a_2 x_0 + b_2 y_0 = c_2$

💡

Szybki tip maturalny

Zanim zaczniesz liczyć, rozejrzyj się po układzie. Jeśli przy którejś niewiadomej współczynniki są już przeciwne albo łatwo je takimi zrobić, wybierz metodę przeciwnych współczynników. Jeśli jedna niewiadoma stoi sama, szybsze będzie podstawianie.

Korepetytor rozwiązuje na żywo

Wygenerowano automatycznie w arkusz.ai

Rozwiąż układ równań $\begin{cases} 2x+y=13 \\ x-2y=-4 \end{cases}$ .

Z pierwszego równania wyznaczam $y=13-2x$ .

Podstawiam do drugiego: $x-2(13-2x)=-4$ .

Upraszczenie daje $x-26+4x=-4$ , czyli $5x=22$ .

Stąd $x=\frac{22}{5}$ , a $y=13-2\cdot\frac{22}{5}=\frac{21}{5}$ .

Wynik:

$x=\frac{22}{5}$ , $y=\frac{21}{5}$ .

PRZYKŁADOWE ZADANIA

Łatwe1 pkt

Matura podstawowa, grudniowa 2023, zad. 6

Dany jest układ równań: $\begin{cases} x - 3y + 5 = 0 \\ 2x + y + 3 = 0 \end{cases}$ . Rozwiązaniem tego układu równań jest para liczb: A) $x = 1$ i $y = 2$ , B) $x = 0$ i $y = -3$ , C) $x = -2$ i $y = 1$ , D) $x = -1$ i $y = -1$ .

Średnie1 pkt

Matura podstawowa, sierpniowa 2024, zad. 8

W sklepie sprzedawano soki owocowe w dwóch rodzajach opakowań: małych i dużych. Łącznie sprzedano $120$ opakowań. Wiemy, że dużych opakowań sprzedano o $20$ mniej niż trzy razy tyle co małych. Niech $x$ oznacza liczbę dużych opakowań, a $y$ - liczbę małych opakowań. Który układ równań opisuje tę sytuację - A) $\begin{cases} x + y = 120 \\ y = 3x - 20 \end{cases}$ , B) $\begin{cases} x + y = 120 \\ x = 3y - 20 \end{cases}$ , C) $\begin{cases} x + y = 120 \\ y = 3x + 20 \end{cases}$ , D) $\begin{cases} x + y = 120 \\ x = 3y + 20 \end{cases}$ .

Trudne2 pkt

Matura podstawowa, majowa 2026, zad. 11

Na przedstawienie w pewnym teatrze sprzedawano bilety według cennika: bilet normalny - 35 zł, bilet ulgowy - 25 zł. Na to przedstawienie sprzedano łącznie 200 biletów. Po opłaceniu kosztów związanych z organizacją przedstawienia w wysokości 25% wpływów ze sprzedaży biletów organizatorom pozostało 4665 zł. Oblicz liczbę biletów ulgowych sprzedanych na to przedstawienie.

Często zadawane pytania

Poćwicz w praktyce

Zadania maturalne z tego działu

Oficjalne zadania CKE z działu Układy równań - z pełnymi rozwiązaniami krok po kroku.

Wszystkie zadania

Zadanie 82024 sierpień

Na rysunku, w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ , przedstawiono interpretację geometryczną jednego z poniższych układów równań A-D.

Rozwiąż zadanie

Zadanie 62023 grudzień

Dany jest układ równań: $\begin{cases} x - 3y + 5 = 0 \\ 2x + y + 3 = 0 \end{cases}$ . Rozwiązaniem tego układu równań jest para liczb

Rozwiąż zadanie