arkusz.ai

Wyrażenia algebraiczne

Wyrażenia algebraiczne to język, którym zapisujemy całą matematykę. Zanim ruszysz z równaniami czy funkcjami, musisz umieć sprawnie je przekształcać. Na szczęście rządzi tym kilka prostych wzorów i jedna zasada: porządkuj, co się da.

1. Jednomiany i sumy algebraiczne

Jednomian to najprostszy element, na przykład $3x$ albo $-5x^2$ . To liczba pomnożona przez zmienne podniesione do potęg. Gdy połączysz kilka jednomianów znakami dodawania i odejmowania, dostajesz sumę algebraiczną.

Wyrażenie $2x^2 + 3x - 7$ to właśnie taka suma. Każdy z jej składników nazywamy wyrazem. Praca z wyrażeniami algebraicznymi polega głównie na ich upraszczaniu, czyli zapisywaniu w jak najkrótszej, najczytelniejszej postaci.

2. Wzory skróconego mnożenia

To najważniejsze narzędzie całego działu. Trzy wzory warto znać tak, żeby budziły Cię w nocy: kwadrat sumy, kwadrat różnicy i różnica kwadratów.

Kwadrat sumy to $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ . Najczęstszy błąd to zapomnienie o środkowym wyrazie $2ab$ . Różnica kwadratów, czyli $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ , działa w drugą stronę i pozwala szybko rozłożyć wyrażenie na czynniki.

3. Redukcja wyrazów podobnych

Wyrazy podobne to takie, które mają tę samą część ze zmiennymi, na przykład $3x$ i $5x$ albo $2x^2$ i $-7x^2$ . Takie wyrazy można połączyć w jeden.

Redukcja polega na dodaniu ich współczynników. $3x + 5x$ to po prostu $8x$ . Pamiętaj, że $3x$ i $3x^2$ nie są podobne, bo różnią się potęgą, więc nie wolno ich łączyć.

4. Wyłączanie wspólnego czynnika

Jeśli każdy wyraz wyrażenia ma wspólny element, można go wyciągnąć przed nawias. To działanie odwrotne do mnożenia nawiasu przez liczbę.

W wyrażeniu $6x + 9$ obie liczby dzielą się przez $3$ , więc zapiszemy je jako $3(2x + 3)$ . Wyłączanie czynnika to pierwszy krok w wielu zadaniach o równaniach, bo prowadzi prosto do postaci iloczynowej.

5. Po co to wszystko

Przekształcanie wyrażeń rzadko jest celem samym w sobie. To narzędzie, które przyda się w prawie każdym innym dziale: przy rozwiązywaniu równań, upraszczaniu funkcji czy w dowodach.

Dlatego warto te wzory przećwiczyć do automatu. Im szybciej rozpoznasz, że coś jest różnicą kwadratów albo kwadratem sumy, tym mniej czasu stracisz na maturze.

NAJWAŻNIEJSZE WZORY

Kwadrat sumy

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Kwadrat różnicy

$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Różnica kwadratów

$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$

Sześcian sumy

$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

Wyłączanie czynnika

$ab + ac = a(b+c)$

Mnożenie ułamków

$\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{c}{d} = \dfrac{ac}{bd}$

💡

Szybki tip maturalny

Gdy widzisz wyrażenie w drugiej potędze albo różnicę dwóch kwadratów, niemal zawsze opłaca się sięgnąć po wzory skróconego mnożenia. Zamieniają one długie mnożenie nawiasów na krótki, bezbłędny zapis.

Korepetytor rozwiązuje na żywo

Wygenerowano automatycznie w arkusz.ai

Uprość wyrażenie $(x+3)^2-(x-2)(x+5)$ i oblicz jego wartość dla $x=-1$ .

Rozwijam pierwszy nawias: $(x+3)^2=x^2+6x+9$ .

Mnożę drugi iloczyn: $(x-2)(x+5)=x^2+3x-10$ .

Odejmuję: $x^2+6x+9-(x^2+3x-10)=3x+19$ .

Dla $x=-1$ otrzymuję $3\cdot(-1)+19=16$ .

Wynik:

Wyrażenie upraszcza się do $3x+19$ , a jego wartość dla $x=-1$ wynosi $16$ .

PRZYKŁADOWE ZADANIA

Łatwe1 pkt

Matura podstawowa, grudniowa 2024, zad. 4

Wyrażenie $\log_7 x + 6\log_7 y$ jest równe: A) $\log_7 \dfrac{x}{y^6}$ , B) $\log_7 (xy)^6$ , C) $\log_7 (6xy)$ , D) $\log_7 (xy^6)$ .

Średnie2 pkt

Matura podstawowa, majowa 2026, zad. 7

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej $n$ liczba $7n^2 + 21n$ jest podzielna przez $14$ .

Trudne3 pkt

Matura podstawowa, sierpniowa 2024, zad. 30

Dane są liczby nieujemne $x$ i $y$ takie, że $x + y = 12$ . Wyznacz wartości $x$ i $y$ , dla których wyrażenie $2x^2 + y^2$ przyjmuje wartość najmniejszą.

Często zadawane pytania

Poćwicz w praktyce

Zadania maturalne z tego działu

Oficjalne zadania CKE z działu Wyrażenia algebraiczne - z pełnymi rozwiązaniami krok po kroku.

Wszystkie zadania

Zadanie 52026 próbna

Wykaż, że liczba $2501^4 - 2499^4$ jest podzielna przez $10000$ .

Rozwiąż zadanie

Zadanie 72026 maj

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej $n$ liczba $7n^2 + 21n$ jest podzielna przez $14$ .

Rozwiąż zadanie

Zadanie 12025 czerwiec

Liczby $x_1$ i $x_2$ są różnymi rozwiązaniami równania $|x-6|=4$ . Iloczyn $x_1 \cdot x_2$ jest równy

Rozwiąż zadanie

Zadanie 52025 sierpień

Wykaż, że liczba $8^{50} - 2^{145}$ jest podzielna przez

Rozwiąż zadanie