Wszystkie notatki Zadania maturalne z działu Stereometria

Stereometria

Stereometria to geometria przestrzenna: bryły, ich objętości i pola powierzchni. Brzmi groźnie, ale na maturze podstawowej sprowadza się do rozpoznania bryły i podstawienia do wzoru z tablic CKE.

1. Graniastosłupy

Graniastosłup to bryła, która ma dwie identyczne, równoległe podstawy połączone ścianami bocznymi w kształcie prostokątów. Najprostszy przykład to prostopadłościan, a jego szczególnym przypadkiem jest sześcian.

Objętość każdego graniastosłupa liczysz tak samo: pole podstawy mnożysz przez wysokość bryły. To jeden z najczęściej używanych wzorów w tym dziale.

2. Ostrosłupy

Ostrosłup ma jedną podstawę i ściany boczne w kształcie trójkątów, które schodzą się w jednym punkcie zwanym wierzchołkiem. Klasyczny przykład to ostrosłup o podstawie kwadratu, czyli kształt piramidy.

Objętość ostrosłupa to jedna trzecia iloczynu pola podstawy i wysokości. Ta jedna trzecia to najczęstszy powód błędów, więc warto o niej pamiętać.

3. Bryły obrotowe

Bryły obrotowe powstają przez obrót figury płaskiej dookoła osi. Najważniejsze trzy to walec, stożek i kula.

Walec przypomina graniastosłup z kołem w podstawie, a stożek przypomina ostrosłup z kołem w podstawie. Kula to bryła idealnie okrągła, opisana jednym tylko parametrem, czyli promieniem.

4. Objętość brył

Objętość mówi, ile miejsca zajmuje bryła. Dla graniastosłupa i walca jest to pole podstawy razy wysokość. Dla ostrosłupa i stożka dochodzi mnożnik jedna trzecia.

Wszystkie te wzory znajdziesz w tablicach CKE. Twoim zadaniem jest poprawnie rozpoznać bryłę i nie pomylić wzorów ostrosłupa z graniastosłupem.

5. Pole powierzchni

Pole powierzchni to suma pól wszystkich ścian bryły. Dla graniastosłupów składa się z dwóch podstaw i ścian bocznych.

W zadaniach często pomaga rozłożyć bryłę w myślach na siatkę, czyli wszystkie jej ściany rozprostowane na płaszczyźnie. Wtedy liczenie pola sprowadza się do dodawania pól znanych figur.

NAJWAŻNIEJSZE WZORY

Objętość sześcianu

$V = a^3$

Objętość prostopadłościanu

$V = a \cdot b \cdot c$

Objętość graniastosłupa

$V = P_p \cdot H$

Objętość ostrosłupa

$V = \dfrac{1}{3} \cdot P_p \cdot H$

Objętość walca

$V = \pi r^2 \cdot H$

Objętość kuli

$V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$

Typowe pułapki na maturze

Mylenie wzoru objętości ostrosłupa ( $\frac{1}{3}$ ) z graniastosłupa.
Pomylenie pola powierzchni z objętością.
Błędne odczytanie wysokości vs krawędzi skośnej.
Zapominanie o jednostkach - $cm^3$ vs $cm^2$ .

Szybki tip maturalny

Najczęstszy błąd w stereometrii to pomylenie wzoru na objętość graniastosłupa i ostrosłupa. Zapamiętaj prosto: bryły zakończone ostro, czyli ostrosłup i stożek, mają w objętości mnożnik jedna trzecia. Bryły o prostych ścianach go nie mają.

Korepetytor rozwiązuje na żywo

Wygenerowano automatycznie w arkusz.ai

Graniastosłup prawidłowy trójkątny ma krawędź podstawy $6$ i wysokość $10$ . Oblicz jego objętość.

Podstawą jest trójkąt równoboczny o boku $6$ .

Pole podstawy: $P_p=\frac{a^2\sqrt3}{4}=\frac{36\sqrt3}{4}=9\sqrt3$ .

Objętość graniastosłupa to $V=P_p\cdot H$ .

Podstawiam wysokość $10$ : $V=9\sqrt3\cdot10=90\sqrt3$ .

Wynik:

$V=90\sqrt3$ .

PRZYKŁADOWE ZADANIA

Łatwe1 pkt

Matura podstawowa, majowa 2026, zad. 28

Stożek i walec mają równe wysokości. Promień podstawy stożka jest dwa razy większy od promienia podstawy walca.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Stosunek objętości stożka do objętości walca jest równy

Średnie2 pkt

Matura podstawowa, grudniowa 2024, zad. 26

Objętość stożka o wysokości $2$ jest równa $8\pi$ . Oblicz miarę kąta rozwarcia tego stożka.

Zapisz obliczenia.

Trudne2 pkt

Matura podstawowa, majowa 2026, zad. 26

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ dana jest prosta $k$ o równaniu $y = -\dfrac{1}{3}x + 2$ . Prosta $l$ jest równoległa do prostej $k$ i przechodzi przez punkt $(2, -2)$ . Prosta $l$ przecina oś $Oy$ w punkcie

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Często zadawane pytania

Poćwicz w praktyce

Zadania maturalne z tego działu

Oficjalne zadania CKE z działu Stereometria - z pełnymi rozwiązaniami krok po kroku.

Wszystkie zadania

Zadanie 252026 czerwiec

Każda z krawędzi ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość $12$ . Wysokość tego ostrosłupa jest równa

Rozwiąż zadanie

Zadanie 262026 marzec

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym krawędź podstawy ma długość $12$ . Ściana boczna tego ostrosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt o mierze $30^\circ$ . Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Rozwiąż zadanie

Zadanie 272026 maj

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym przekątna podstawy ma długość $8\sqrt{3}$ . Krawędź boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $30^\circ$ . Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Rozwiąż zadanie

Zadanie 242025 czerwiec

Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe 94,5. Długości trzech krawędzi wychodzących z tego samego wierzchołka prostopadłościanu tworzą ciąg geometryczny o ilorazie równym 4. Oblicz objętość tego prostopadłościanu.

Rozwiąż zadanie