Zbiory i przedziały liczbowe

Zbiór to podstawowe pojęcie matematyki, które nie ma ścisłej definicji, tylko odwołuje się do intuicji: zbiór to kolekcja obiektów nazywanych elementami tego zbioru. Jeśli element x jest częścią zbioru A, mówimy, że x należy do A. Jeśli żaden element nie należy do zbioru, taki zbiór nazywamy zbiorem pustym. Gdy każdy element zbioru A jest jednocześnie elementem zbioru B, mówimy, że A jest podzbiorem B. Na przykład zbiór liczb parzystych jest podzbiorem zbioru liczb całkowitych, ponieważ każda liczba parzysta jest liczbą całkowitą. Zbiory najczęściej zapisujemy, wymieniając ich elementy w nawiasach klamrowych, na przykład zbiór {1, 2, 3}, albo opisując warunek, jaki muszą spełniać elementy, na przykład zbiór liczb naturalnych mniejszych od 10.

W matematyce wyróżniamy kilka podstawowych zbiorów liczbowych, które są od siebie zależne. Najmniejszym z nich jest zbiór liczb naturalnych, czyli liczb całkowitych nieujemnych: 0, 1, 2, 3 i tak dalej. Rozszerzając go o liczby ujemne, otrzymujemy zbiór liczb całkowitych. Dodając do liczb całkowitych ułamki, czyli ilorazy dwóch liczb całkowitych, otrzymujemy zbiór liczb wymiernych. Nie wszystkie liczby da się jednak zapisać jako ułamek, na przykład pierwiastek z 2 albo liczba pi mają nieskończone i nieokresowe rozwinięcie dziesiętne. Takie liczby nazywamy niewymiernymi. Suma liczb wymiernych i niewymiernych tworzy zbiór liczb rzeczywistych, który jest najszerszym zbiorem liczbowym używanym w szkole. Każdy z tych zbiorów jest podzbiorem kolejnego, większego zbioru: liczby naturalne są całkowite, całkowite są wymierne, a wymierne wraz z niewymiernymi tworzą liczby rzeczywiste.

Suma dwóch zbiorów, nazywana też unią, to zbiór złożony ze wszystkich elementów, które należą do przynajmniej jednego z nich. Jeśli zbiór A to {1, 2, 3}, a zbiór B to {3, 4, 5}, to suma tych zbiorów to {1, 2, 3, 4, 5}: każdy element wypisujemy tylko raz, nawet jeśli występuje w obu zbiorach. Warunkiem należenia do sumy jest przynależność do pierwszego zbioru lub do drugiego, dlatego przy sumowaniu łączymy warunki spójnikiem lub. Suma zbiorów jest szczególnie przydatna przy zapisywaniu rozwiązań nierówności, gdy rozwiązanie składa się z kilku rozłącznych przedziałów, na przykład gdy nierówność jest spełniona zarówno dla liczb mniejszych od 2, jak i dla liczb większych od 7. Wtedy zapisujemy rozwiązanie jako sumę dwóch odpowiednich przedziałów.

Iloczyn dwóch zbiorów, nazywany też częścią wspólną albo przecięciem, to zbiór złożony wyłącznie z elementów, które należą jednocześnie do obu zbiorów. Dla zbioru A równego {1, 2, 3, 4} i zbioru B równego {3, 4, 5, 6} iloczyn tych zbiorów to {3, 4}, ponieważ tylko liczby 3 i 4 występują w obu zbiorach naraz. Warunkiem należenia do iloczynu jest przynależność do pierwszego zbioru oraz do drugiego, dlatego tym razem warunki łączymy spójnikiem i. Jeśli dwa zbiory nie mają żadnego wspólnego elementu, ich iloczyn jest zbiorem pustym, a takie zbiory nazywamy rozłącznymi. Iloczyn zbiorów pojawia się na przykład wtedy, gdy szukamy liczb spełniających jednocześnie dwa warunki, takich jak bycie większym od 3 i jednocześnie mniejszym od 10.

Różnica zbioru A i zbioru B to zbiór tych elementów, które należą do A, ale nie należą do B. Dla zbioru A równego {1, 2, 3, 4, 5} i zbioru B równego {3, 4, 5, 6} różnica A \ B to {1, 2}, bo te liczby są w A i jednocześnie nie występują w B. Warto zwrócić uwagę, że różnica zbiorów nie jest przemienna, czyli różnica A \ B na ogół różni się od różnicy B \ A. W naszym przykładzie różnica B \ A to {6}, bo tylko ta liczba należy do B i nie należy do A. Różnicę zbiorów wykorzystujemy często do zapisywania dziedziny funkcji, na przykład gdy ze zbioru liczb rzeczywistych trzeba wykluczyć jedną liczbę, dla której mianownik wyrażenia się zeruje.

Przedział liczbowy to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych leżących między dwiema ustalonymi liczbami, zwanymi końcami przedziału. Gdy oba końce należą do przedziału, nazywamy go przedziałem domkniętym i zapisujemy go w nawiasach kwadratowych, na przykład przedział od 2 do 5 domknięty zapisujemy jako [2, 5]. Gdy żaden z końców nie należy do przedziału, mamy przedział otwarty, który zapisujemy w nawiasach okrągłych, na przykład (2, 5). Zdarza się też, że jeden koniec należy do przedziału, a drugi nie, wtedy mówimy o przedziale jednostronnie domkniętym, na przykład [2, 5) oznacza wszystkie liczby od 2 włącznie do 5, ale bez 5. Na osi liczbowej koniec należący do przedziału zaznaczamy zamalowanym kółkiem, a koniec nienależący do przedziału zaznaczamy kółkiem pustym w środku.

Nie każdy przedział musi mieć dwa skończone końce. Gdy interesują nas wszystkie liczby większe od pewnej liczby a, zapisujemy taki przedział jako (a, ∞), gdzie symbol nieskończoności zawsze piszemy w nawiasie okrągłym, bo nieskończoność nie jest liczbą i nie może należeć do żadnego zbioru. Podobnie przedział (−∞, a) oznacza wszystkie liczby mniejsze od a. Jeśli liczba a ma należeć do przedziału, koniec skończony zapisujemy w nawiasie kwadratowym, na przykład [a, ∞) oznacza wszystkie liczby większe lub równe a. Cały zbiór liczb rzeczywistych możemy zapisać jako przedział (−∞, ∞), oba końce w nawiasach okrągłych. Przedziały nieskończone, nazywane też półprostymi, pojawiają się bardzo często jako dziedziny funkcji albo rozwiązania nierówności, na przykład gdy szukamy liczb, dla których wyrażenie pod pierwiastkiem jest nieujemne.

Przedziały, tak jak inne zbiory, można sumować, mnożyć i odejmować. Jeśli dwa przedziały się nakładają, ich suma bywa jednym większym przedziałem, na przykład suma przedziału od 1 do 5 i przedziału od 3 do 8 to przedział od 1 do 8. Jeśli przedziały są rozłączne, ich suma pozostaje zapisana jako suma dwóch osobnych przedziałów i nie da się jej zapisać jako jednego przedziału, na przykład suma przedziału od 1 do 3 i przedziału od 6 do 9. Przy wyznaczaniu iloczynu dwóch przedziałów szukamy części wspólnej, czyli zakresu, w którym oba przedziały jednocześnie obowiązują, co najłatwiej sprawdzić, rysując oba przedziały na jednej osi liczbowej jeden pod drugim. Rysowanie na osi liczbowej jest w ogóle najlepszym sposobem sprawdzania takich działań, bo pozwala wzrokowo ocenić, gdzie przedziały się pokrywają, a gdzie nie.