Wyrażenia algebraiczne

Wyrażenie algebraiczne to zapis, w którym oprócz liczb występują litery, zwane zmiennymi, połączone działaniami arytmetycznymi. Najprostszym rodzajem wyrażenia algebraicznego jest jednomian, czyli iloczyn liczby, zwanej współczynnikiem, oraz jednej lub kilku zmiennych podniesionych do potęg naturalnych. Przykładami jednomianów są 3x, −5x²y, albo sama liczba 7, która jest jednomianem bez zmiennej. Stopniem jednomianu nazywamy sumę wykładników wszystkich występujących w nim zmiennych. Jednomian 4x³y² ma stopień równy 5, bo 3 + 2 = 5. Dwa jednomiany nazywamy podobnymi, gdy mają dokładnie te same zmienne w tych samych potęgach, a różnią się co najwyżej współczynnikiem liczbowym. 3x² i −7x² są podobne, ale 3x² i 3x nie są, bo różnią się wykładnikiem przy x.

Wielomian to suma skończonej liczby jednomianów, nazywanych wyrazami wielomianu albo składnikami. Stopniem wielomianu jest największy ze stopni jego wyrazów. Wielomian 2x³ − 5x² + x − 7 ma stopień 3, bo najwyższa potęga zmiennej x wynosi 3. Gdy wielomian zawiera wyrazy podobne, można je połączyć w jeden, sumując ich współczynniki. Tę operację nazywamy redukcją wyrazów podobnych. W wyrażeniu 3x + 5y − x + 2y wyrazy 3x i −x są podobne, podobnie jak 5y i 2y, więc po redukcji otrzymujemy 2x + 7y. Redukcja wyrazów podobnych jest możliwa dzięki rozdzielności mnożenia względem dodawania: 3x − x to x(3 − 1), czyli x · 2, czyli 2x. Redukcję zawsze wykonujemy jako pierwszy krok przy upraszczaniu dłuższych wyrażeń algebraicznych, zanim przejdziemy do dalszych przekształceń.

Wielomiany dodajemy i odejmujemy, łącząc ich wyrazy i redukując te podobne. Przy odejmowaniu wielomianu trzeba pamiętać o zmianie znaku każdego wyrazu odejmowanego wielomianu, bo odjęcie całego wyrażenia to to samo co dodanie go pomnożonego przez −1. Mnożenie wielomianów opiera się na rozdzielności mnożenia względem dodawania: każdy wyraz pierwszego wielomianu mnożymy przez każdy wyraz drugiego wielomianu, a następnie redukujemy powstałe wyrazy podobne. Przy mnożeniu dwóch dwumianów, czyli wielomianów o dwóch wyrazach, wygodnie jest pamiętać o czterech iloczynach cząstkowych: pierwszy wyraz razy pierwszy, pierwszy razy drugi, drugi razy pierwszy, drugi razy drugi. Mnożąc (x + 2) przez (x + 3), otrzymujemy kolejno x · x, x · 3, 2 · x oraz 2 · 3, co po redukcji środkowych wyrazów podobnych daje x² + 5x + 6.

Kwadrat sumy dwóch wyrażeń oraz kwadrat ich różnicy to dwa najczęściej wykorzystywane wzory skróconego mnożenia. Kwadrat sumy (a + b)² jest równy a² + 2ab + b². Wzór ten można wyprowadzić wprost z mnożenia dwumianu przez siebie: (a + b)(a + b) = a² + ab + ab + b², co po redukcji dwóch środkowych wyrazów daje właśnie 2ab. Analogicznie kwadrat różnicy (a − b)² jest równy a² − 2ab + b², przy czym środkowy wyraz jest tym razem ujemny. (x − 3)² to x² − 6x + 9, bo podwojony iloczyn x i 3 wynosi 6x. Te wzory pozwalają szybko podnosić dwumiany do kwadratu bez ręcznego mnożenia wyraz po wyrazie.

Wzór na różnicę kwadratów mówi, że a² − b² jest równe (a + b)(a − b). Wzór ten wynika z bezpośredniego przemnożenia tych dwóch czynników: (a + b)(a − b) = a² − ab + ab − b², a dwa środkowe wyrazy się znoszą, zostawiając tylko a² − b². Ten wzór jest szczególnie przydatny, bo pozwala błyskawicznie mnożyć takie liczby jak 21 · 19, zapisując je jako (20 + 1)(20 − 1), co od razu daje 20² − 1² = 400 − 1 = 399. Różnica kwadratów jest też jednym z najczęściej wykorzystywanych narzędzi przy rozkładaniu wielomianów na czynniki oraz przy usuwaniu niewymierności z mianownika.

Rozkładanie wielomianu na czynniki oznacza zapisanie go w postaci iloczynu prostszych wyrażeń, co jest operacją odwrotną do mnożenia wielomianów. Najprostszą metodą rozkładu jest wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias, gdy każdy wyraz wielomianu dzieli się przez ten sam czynnik. W wyrażeniu 6x² + 9x każdy wyraz dzieli się przez 3x, więc wyłączając ten czynnik, otrzymujemy 3x(2x + 3). Gdy wspólnego czynnika dla wszystkich wyrazów nie ma, ale pojawia się on w parach wyrazów, stosujemy grupowanie: dzielimy wielomian na grupy, z każdej wyłączamy osobny wspólny czynnik, a następnie sprawdzamy, czy powstałe nawiasy są identyczne, co pozwala wyłączyć ten nawias jako nowy wspólny czynnik. W wyrażeniu ax + ay + bx + by grupujemy pierwsze dwa i ostatnie dwa wyrazy, otrzymując a(x + y) + b(x + y), co po wyłączeniu wspólnego czynnika daje (x + y)(a + b).

Wzory skróconego mnożenia, użyte w odwrotnym kierunku, są potężnym narzędziem do rozkładania wielomianów na czynniki. Jeśli wielomian ma postać a² − b², od razu rozkładamy go na iloczyn (a + b)(a − b). Wielomian x² − 16 rozkładamy jako (x + 4)(x − 4), rozpoznając, że 16 to kwadrat liczby 4. Podobnie, jeśli wielomian ma postać a² + 2ab + b², rozpoznajemy w nim kwadrat sumy i zapisujemy jako (a + b)². Kluczową umiejętnością jest rozpoznanie, który wzór pasuje do danego wielomianu, co wymaga sprawdzenia, czy pierwszy i ostatni wyraz są kwadratami jakichś wyrażeń, a środkowy wyraz, jeśli występuje, odpowiada podwojonemu iloczynowi tych wyrażeń. Rozkład na czynniki bardzo ułatwia dalsze upraszczanie wyrażeń, zwłaszcza przy skracaniu wyrażeń wymiernych.

Wyrażenie wymierne to iloraz dwóch wielomianów, w którym mianownik nie jest wielomianem zerowym. Podobnie jak przy ułamkach liczbowych, wyrażenie wymierne ma sens tylko dla tych wartości zmiennej, dla których mianownik jest różny od zera, dlatego przy każdym takim wyrażeniu warto od razu zapisać założenia dotyczące zmiennej. Wyrażenia wymierne skracamy, rozkładając licznik i mianownik na czynniki, a następnie usuwając czynniki występujące jednocześnie w liczniku i mianowniku. Iloraz (x² − 9)/(x + 3) po rozłożeniu licznika jako różnicy kwadratów daje [(x + 3)(x − 3)]/(x + 3), co po skróceniu wspólnego czynnika (x + 3) daje po prostu x − 3, przy założeniu że x jest różne od −3. Wyrażenia wymierne mnożymy, mnożąc osobno liczniki i osobno mianowniki, a dzielimy, mnożąc przez odwrotność drugiego wyrażenia, dokładnie tak samo jak ułamki liczbowe.