Wektory

Wektor to skierowany odcinek, czyli odcinek, w którym jeden koniec wyróżniamy jako początek, a drugi jako koniec. Wektor o początku w punkcie A i końcu w punkcie B zapisujemy jako wektor AB i oznaczamy strzałką narysowaną od A do B. Wektor charakteryzują trzy cechy: długość, czyli odległość między początkiem a końcem, kierunek, czyli prosta, na której leży wektor, oraz zwrot, czyli to, w którą stronę wzdłuż tej prostej wektor jest skierowany. Wektor AB i wektor BA mają tę samą długość i ten sam kierunek, ale przeciwny zwrot, dlatego są to dwa różne wektory. Warto odróżniać wektor od zwykłego odcinka: odcinek AB jest tym samym co odcinek BA, natomiast wektor AB różni się od wektora BA właśnie zwrotem.

Wektor o początku w punkcie A(x₁, y₁) oraz końcu w punkcie B(x₂, y₂) ma współrzędne [x₂ − x₁, y₂ − y₁]. Ważne jest zachowanie kolejności odejmowania: od współrzędnych końca odejmujemy współrzędne początku, a nie odwrotnie, ponieważ zamiana kolejności dałaby współrzędne wektora przeciwnego. Jeśli punkt A ma współrzędne (1, 2), a punkt B ma współrzędne (4, 6), to wektor AB ma współrzędne [4 − 1, 6 − 2] = [3, 4].

Długość wektora o danych współrzędnych liczymy tak samo jak odległość dwóch punktów, korzystając z twierdzenia Pitagorasa. Skoro współrzędne wektora to różnice współrzędnych jego końca i początku, to długość wektora wynosi |u| = √(x² + y²). Jeśli wektor ma współrzędne (3, 4), jego długość wynosi √(3² + 4²) = √25 = 5. Długość wektora jest zawsze liczbą nieujemną i nie zależy od tego, w którym miejscu układu współrzędnych narysujemy wektor, a jedynie od jego współrzędnych, ponieważ wektory o tych samych współrzędnych są sobie równe niezależnie od położenia.

Sumę dwóch wektorów zapisanych we współrzędnych obliczamy, dodając osobno ich pierwsze współrzędne i osobno ich drugie współrzędne. Jeśli wektor u = [2, 3], a wektor v = [1, 5], to u + v = [2 + 1, 3 + 5] = [3, 8]. Geometrycznie sumę dwóch wektorów można przedstawić na dwa równoważne sposoby. W metodzie trójkąta rysujemy wektor v tak, aby jego początek pokrywał się z końcem wektora u, a suma jest wtedy wektorem prowadzącym od początku u do końca v. W metodzie równoległoboku oba wektory rysujemy od tego samego punktu początkowego i dobudowujemy z nich równoległobok, a suma jest przekątną tego równoległoboku wychodzącą ze wspólnego początku obu wektorów. Dodawanie wektorów wykorzystuje się na przykład do opisu złożenia dwóch przesunięć, gdzie wynikowe przesunięcie jest sumą przesunięć składowych.

Różnicę dwóch wektorów obliczamy, odejmując osobno ich pierwsze współrzędne i osobno ich drugie współrzędne, zachowując przy tym kolejność, czyli od współrzędnych pierwszego wektora odejmujemy współrzędne drugiego. Jeśli wektor u = [5, 2], a wektor v = [3, 4], to u − v = [5 − 3, 2 − 4] = [2, −2]. Odejmowanie wektorów można też traktować jako dodawanie wektora przeciwnego, czyli wektora o takiej samej długości i kierunku, ale przeciwnym zwrocie. Odejmowanie wektorów pozwala też wyznaczyć wektor łączący dwa punkty, ponieważ wektor AB jest równy różnicy wektora wskazującego punkt B i wektora wskazującego punkt A, liczonych od początku układu współrzędnych.

Mnożenie wektora przez liczbę k polega na pomnożeniu przez tę liczbę obu współrzędnych wektora. Jeśli wektor u = [2, 3], a mnożymy go przez liczbę 3, otrzymujemy wektor 3u = [6, 9]. Taka operacja zmienia długość wektora k razy, ponieważ każda współrzędna, a więc i cała długość, skaluje się proporcjonalnie. Gdy liczba k jest dodatnia, kierunek i zwrot wektora pozostają bez zmian, zmienia się tylko jego długość. Gdy liczba k jest ujemna, długość wektora również się zmienia proporcjonalnie do wartości bezwzględnej k, ale dodatkowo zwrot wektora odwraca się na przeciwny. Mnożenie przez liczbę minus jeden daje więc wektor przeciwny do wyjściowego, o tej samej długości, ale przeciwnym zwrocie.

Dwa niezerowe wektory nazywamy równoległymi, gdy leżą na tej samej prostej albo na prostych równoległych, czyli mają ten sam kierunek, niezależnie od zwrotu. We współrzędnych oznacza to, że współrzędne jednego wektora są proporcjonalne do współrzędnych drugiego, czyli jeden wektor powstaje z drugiego przez pomnożenie obu jego współrzędnych przez tę samą liczbę. Jeśli wektor u = [2, 4], a wektor v = [3, 6], to są one równoległe, ponieważ v = 1,5 · u. Warto pamiętać, że wektory równoległe nie muszą mieć tej samej długości ani tego samego zwrotu, wystarczy, że leżą na tej samej prostej lub na prostych do siebie równoległych.