Wartość bezwzględna

Wartość bezwzględną liczby x, zapisywaną jako |x|, definiujemy w dwóch przypadkach w zależności od znaku liczby x. Jeśli liczba x jest nieujemna, czyli x ≥ 0, to jej wartość bezwzględna jest równa samej tej liczbie. Jeśli natomiast liczba x jest ujemna, to jej wartość bezwzględna jest równa liczbie przeciwnej do x, czyli −x. Dzięki takiej definicji wartość bezwzględna dowolnej liczby rzeczywistej jest zawsze liczbą nieujemną i nigdy nie może wyjść ujemna. Na przykład |5| = 5, ponieważ 5 jest liczbą nieujemną, natomiast |−5| również wynosi 5, ponieważ liczbą przeciwną do −5 jest właśnie 5. Wartość bezwzględna liczby zero wynosi zero, co jest zgodne z obydwoma częściami definicji jednocześnie.

Wartość bezwzględną liczby x można też rozumieć geometrycznie jako odległość punktu odpowiadającego tej liczbie od punktu zero na osi liczbowej. Odległość między dwoma punktami na osi zawsze jest liczbą nieujemną, niezależnie od tego, w którą stronę od zera leży dany punkt, co dokładnie odpowiada temu, że wartość bezwzględna nigdy nie jest ujemna. Liczby 5 oraz −5 leżą po przeciwnych stronach zera, ale w tej samej odległości od niego, dlatego obie mają taką samą wartość bezwzględną równą 5. Ta interpretacja tłumaczy też, dlaczego równanie |x| = 5 ma dwa rozwiązania, liczbę 5 oraz liczbę −5, ponieważ dokładnie te dwa punkty na osi liczbowej leżą w odległości 5 od zera. Myślenie o wartości bezwzględnej jako o odległości jest bardzo pomocne przy rozwiązywaniu równań i nierówności, ponieważ pozwala od razu przewidzieć, ile rozwiązań należy się spodziewać.

Wartość bezwzględna ma kilka podstawowych własności, które warto znać na pamięć, bo znacznie upraszczają obliczenia. Po pierwsze, wartość bezwzględna dowolnej liczby jest zawsze nieujemna, a wartość bezwzględna liczby jest równa zero wtedy i tylko wtedy, gdy sama liczba jest równa zero. Po drugie, wartość bezwzględna liczby jest zawsze równa wartości bezwzględnej liczby do niej przeciwnej, ponieważ liczba i liczba do niej przeciwna leżą w tej samej odległości od zera. Po trzecie, wartość bezwzględna iloczynu dwóch liczb jest równa iloczynowi ich wartości bezwzględnych, a wartość bezwzględna ilorazu dwóch liczb, przy niezerowym dzielniku, jest równa ilorazowi ich wartości bezwzględnych. Po czwarte, dla dowolnych dwóch liczb suma ich wartości bezwzględnych jest zawsze większa lub równa wartości bezwzględnej ich sumy, co nazywamy nierównością trójkąta.

Szczególnie użyteczną interpretacją jest wartość bezwzględna różnicy dwóch liczb, czyli wyrażenie |x − a|. Wyraża ono odległość między punktem x a punktem a na osi liczbowej, a nie tylko odległość punktu x od zera. Wynika to bezpośrednio z tego, że różnica x − a mówi, o ile i w którą stronę trzeba przesunąć się od a, żeby dotrzeć do x, a wartość bezwzględna tej różnicy pomija kierunek tego przesunięcia i zostawia samą odległość. Na przykład wyrażenie |x − 3| opisuje odległość liczby x od liczby 3, więc dla x = 7 wynosi ono 4, a dla x = 1 wynosi ono 2, ponieważ 1 leży w odległości 2 od 3. Ta interpretacja jest podstawą do rozwiązywania równań i nierówności z wartością bezwzględną jako alternatywa dla metody przypadków opisanej w kolejnych sekcjach.

Proste równanie z wartością bezwzględną w postaci |wyrażenie| = liczba dodatnia rozwiązujemy metodą przypadków, wynikającą wprost z definicji wartości bezwzględnej. Rozważamy osobno sytuację, w której wyrażenie pod wartością bezwzględną jest nieujemne, i osobno sytuację, w której jest ono ujemne, a w każdym przypadku wartość bezwzględną zastępujemy odpowiednim wyrażeniem bez kresek. Dla równania |x − 2| = 5 rozważamy dwa przypadki. W pierwszym, gdy x − 2 jest nieujemne, wartość bezwzględna z tej różnicy jest równa samej tej różnicy, więc równanie przyjmuje postać x − 2 = 5, skąd x = 7. W drugim przypadku, gdy x − 2 jest ujemne, wartość bezwzględna z tej różnicy jest równa liczbie do niej przeciwnej, czyli wyrażeniu 2 − x, więc równanie przyjmuje postać 2 − x = 5, skąd x = −3. Oba rozwiązania warto sprawdzić, podstawiając je do równania wyjściowego, co potwierdza, że zarówno 7, jak i −3 rzeczywiście je spełniają.

Nierówność w postaci |x| < a, gdzie a jest liczbą dodatnią, ma prostą interpretację geometryczną, ponieważ opisuje wszystkie liczby x leżące w odległości mniejszej niż a od zera. Takie liczby tworzą przedział otwarty (−a, a), co zapisujemy jako podwójną nierówność −a < x < a. Dla nierówności |x| < 4 rozwiązaniem jest więc przedział (−4, 4), ponieważ wszystkie liczby z tego przedziału leżą bliżej zera niż 4. Jeśli zamiast pojedynczej zmiennej x mamy różnicę x − b, na przykład |x − 3| < 4, to rozwiązujemy analogiczną podwójną nierówność −4 < x − 3 < 4, a następnie do wszystkich trzech części dodajemy 3, otrzymując przedział (−1, 7). Ta sama zasada obowiązuje dla nierówności nieostrej, z tą różnicą, że końce przedziału wtedy do niego należą.

Nierówność w postaci |x| > a, gdzie a jest liczbą dodatnią, opisuje wszystkie liczby x leżące w odległości większej niż a od zera, czyli liczby leżące daleko od zera w obie strony. W odróżnieniu od poprzedniego przypadku rozwiązaniem nie jest tu jeden przedział, tylko suma dwóch rozłącznych przedziałów, co zapisujemy jako x < −a lub x > a. Dla nierówności |x| > 3 rozwiązaniem jest suma przedziału (−∞, −3) oraz przedziału (3, +∞), ponieważ liczby leżące między −3 a 3 są zbyt blisko zera i nie spełniają tej nierówności. Ten przypadek często sprawia trudność, ponieważ intuicyjnie łatwiej jest zapisać jeden przedział niż sumę dwóch rozłącznych przedziałów, dlatego warto zawsze sprawdzić na osi liczbowej, czy rozwiązanie rzeczywiście leży po obu stronach zera. Tak jak poprzednio, dla nierówności nieostrej końce przedziałów należą do rozwiązania.