Układy równań

Układem dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi nazywamy dwa równania zapisane razem, w których szukamy takiej pary liczb x oraz y, żeby obydwa równania były spełnione jednocześnie. Każde z równań ma postać ax + by + c = 0, gdzie a, b i c są liczbami, a x oraz y to niewiadome. Rozwiązaniem układu jest para liczb x oraz y, która po podstawieniu do obu równań jednocześnie daje zdania prawdziwe. Przykładem układu jest para równań x + y = 7 oraz x − y = 1, których rozwiązaniem jest x = 4 oraz y = 3, ponieważ obie te wartości spełniają jednocześnie oba równania. Do zapisu układu równań używamy klamry obejmującej oba równania, co podkreśla, że muszą one być spełnione równocześnie, a nie osobno.

Metoda podstawiania polega na tym, że z jednego równania układu wyznaczamy jedną niewiadomą w zależności od drugiej, a następnie podstawiamy otrzymane wyrażenie do drugiego równania. Dzięki temu drugie równanie zawiera już tylko jedną niewiadomą i można je rozwiązać znanymi metodami rozwiązywania równań liniowych. Rozważmy układ, w którym pierwsze równanie to y = x + 2, a drugie to 2x + y = 11. Ponieważ pierwsze równanie ma już wyznaczone y, podstawiamy wyrażenie x + 2 w miejsce y w drugim równaniu, otrzymując 2x + x + 2 = 11, czyli 3x = 9, skąd x = 3. Otrzymaną wartość x podstawiamy z powrotem do pierwszego równania, co daje y = 3 + 2 = 5. Metoda podstawiania jest szczególnie wygodna, gdy w którymś z równań jedna niewiadoma ma współczynnik równy 1 lub −1, bo wtedy łatwo ją wyznaczyć bez ułamków.

Metoda przeciwnych współczynników, nazywana też metodą dodawania stronami, polega na takim przekształceniu obu równań układu, żeby współczynniki stojące przy jednej z niewiadomych stały się liczbami przeciwnymi. Gdy współczynniki są już przeciwne, wystarczy dodać oba równania stronami, a niewiadoma z przeciwnymi współczynnikami znika, ponieważ suma liczb przeciwnych wynosi zero. Rozważmy układ, w którym pierwsze równanie to 2x + y = 7, a drugie to x − y = 2. Współczynniki przy y wynoszą tu odpowiednio 1 oraz −1, są więc już przeciwne, dlatego dodajemy oba równania stronami, otrzymując 3x = 9, skąd x = 3. Wartość x podstawiamy do drugiego równania, co daje 3 − y = 2, czyli y = 1. Jeśli współczynniki przy żadnej z niewiadomych nie są od razu przeciwne, mnożymy jedno albo oba równania przez odpowiednio dobrane liczby, tak aby taką przeciwność uzyskać, co nie zmienia zbioru rozwiązań układu.

Każde równanie liniowe z dwiema niewiadomymi, zapisane w postaci y = ax + b, przedstawia w układzie współrzędnych linię prostą. Rozwiązanie układu dwóch takich równań odpowiada więc punktowi, w którym te dwie proste się przecinają, ponieważ tylko współrzędne tego punktu spełniają jednocześnie obydwa równania. Jeśli układ ma dokładnie jedno rozwiązanie, oznacza to, że odpowiadające mu proste przecinają się w dokładnie jednym punkcie na płaszczyźnie. Ta geometryczna interpretacja pozwala zrozumieć, dlaczego rozwiązanie zapisujemy jako parę współrzędnych x oraz y, tak samo jak zapisuje się współrzędne punktu na płaszczyźnie. Narysowanie obu prostych na jednym wykresie i odczytanie współrzędnych punktu przecięcia jest też praktyczną metodą przybliżonego rozwiązywania układów równań, choć metody algebraiczne dają wynik dokładny, a odczyt z wykresu jest zwykle jedynie przybliżony.

Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi może mieć jedno rozwiązanie, brak rozwiązań albo nieskończenie wiele rozwiązań, w zależności od wzajemnego położenia odpowiadających mu prostych. Gdy proste przecinają się w jednym punkcie, układ ma dokładnie jedno rozwiązanie i taki układ nazywamy oznaczonym. Gdy proste są równoległe i różne, nie mają żadnego punktu wspólnego, więc układ nie ma rozwiązania i nazywamy go sprzecznym. Gdy natomiast obie proste pokrywają się, czyli są tą samą prostą zapisaną w dwóch różnych postaciach, każdy punkt tej prostej spełnia oba równania, więc układ ma nieskończenie wiele rozwiązań i nazywamy go nieoznaczonym. Rozwiązując układ metodą podstawiania lub metodą przeciwnych współczynników, przypadek sprzeczny rozpoznajemy po tym, że niewiadome znikają, a zostaje zdanie fałszywe, natomiast przypadek nieoznaczony rozpoznajemy po tym, że niewiadome znikają, a zostaje zdanie prawdziwe dla każdej liczby.

Rozwiązanie układu równań warto zawsze sprawdzić, podstawiając otrzymaną parę liczb do obu równań wyjściowych, a nie tylko do jednego z nich, ponieważ błąd mógł powstać dopiero przy wyznaczaniu drugiej niewiadomej. Wybór metody rozwiązywania zależy zwykle od postaci układu. Jeśli w którymś równaniu jedna niewiadoma jest już wyznaczona albo ma współczynnik równy 1, wygodniejsza bywa metoda podstawiania, ponieważ od razu wiadomo, co za co podstawić. Jeśli natomiast oba równania mają podobną postać, a współczynniki przy niewiadomych są liczbami całkowitymi, często szybsza jest metoda przeciwnych współczynników, bo wymaga mniej przekształceń. Obie metody zawsze prowadzą do tego samego wyniku, ponieważ opierają się na tych samych przekształceniach równoważnych, więc wybór metody jest kwestią wygody rachunkowej, a nie poprawności rozwiązania.