Trygonometria

Funkcje trygonometryczne kąta ostrego definiuje się w trójkącie prostokątnym, korzystając ze stosunków długości jego boków. W trójkącie prostokątnym najdłuższy bok, leżący naprzeciw kąta prostego, nazywamy przeciwprostokątną, a pozostałe dwa boki nazywamy przyprostokątnymi. Dla wybranego kąta ostrego alfa jedna przyprostokątna leży naprzeciw tego kąta, a druga do niego przylega. Sinus kąta alfa to stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta do długości przeciwprostokątnej. Cosinus kąta alfa to stosunek długości przyprostokątnej przyległej do kąta do długości przeciwprostokątnej. Tangens kąta alfa to stosunek przyprostokątnej naprzeciw kąta do przyprostokątnej przyległej, a cotangens jest odwrotnością tego stosunku. Wartości tych funkcji nie zależą od wielkości trójkąta, a jedynie od miary kąta alfa, ponieważ wszystkie trójkąty prostokątne o tym samym kącie ostrym są podobne, więc mają identyczne proporcje boków.

Dla kąta ostrego, czyli takiego, którego miara mieści się między 0 a 90 stopni, sinus i cosinus przyjmują wartości z przedziału od 0 do 1. Wynika to wprost z definicji: przyprostokątna zawsze jest krótsza od przeciwprostokątnej, więc stosunek ich długości jest mniejszy od jedności. Gdy kąt alfa rośnie od 0 do 90 stopni, sinus rośnie od 0 do 1, a cosinus maleje od 1 do 0. Tangens natomiast może przyjmować dowolnie duże wartości dodatnie, ponieważ gdy kąt zbliża się do 90 stopni, przyprostokątna przyległa robi się coraz krótsza względem przyprostokątnej naprzeciwległej. Podobnie cotangens rośnie do nieskończoności, gdy kąt zbliża się do 0 stopni. Warto zapamiętać ten kierunek zmian, bo pozwala szybko sprawdzić, czy otrzymany wynik ma sens, na przykład czy sinus kąta bliskiego 90 stopni powinien wyjść bliski jedności.

Jedynka trygonometryczna to podstawowa tożsamość łącząca sinus i cosinus tego samego kąta: sin²α + cos²α = 1. Wynika ona bezpośrednio z twierdzenia Pitagorasa. Jeśli w trójkącie prostokątnym o przeciwprostokątnej c oznaczymy przyprostokątne jako a i b, to sin α = a/c, a cos α = b/c. Podnosząc obie wartości do kwadratu i dodając je, otrzymujemy (a² + b²)/c², co na mocy twierdzenia Pitagorasa daje c²/c², czyli dokładnie 1. Jedynka trygonometryczna jest bardzo przydatna, gdy znamy wartość jednej funkcji i chcemy wyznaczyć drugą bez znajomości długości boków trójkąta, wystarczy wtedy podstawić znaną wartość i rozwiązać proste równanie.

Tangens i cotangens kąta ostrego można zapisać bezpośrednio przez sinus i cosinus tego samego kąta: tg α = sin α / cos α, a ctg α = cos α / sin α, czyli odwrotność tangensa. Wynika stąd ważna zależność: tg α · ctg α = 1, o ile żadna z tych funkcji nie jest równa zero. Dzięki tym zależnościom wystarczy znać wartości sinusa i cosinusa dla danego kąta, żeby bez dodatkowych obliczeń geometrycznych wyznaczyć tangens i cotangens. Ta zależność jest też przydatna przy sprawdzaniu poprawności obliczeń, ponieważ jeśli po podstawieniu wartości iloczyn tangensa i cotangensa nie wychodzi równy 1, to znaczy, że gdzieś popełniono błąd rachunkowy.

Wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 30°, 45° i 60° wyprowadza się z dwóch szczególnych trójkątów i warto je zapamiętać, ponieważ pojawiają się bardzo często. Kąt 45° wynika z trójkąta prostokątnego równoramiennego, powstałego na przykład z przekątnej kwadratu, gdzie obie przyprostokątne są równe, dlatego sin 45° = cos 45° = √2/2, a tg 45° = 1. Kąty 30° i 60° wynikają z podzielenia trójkąta równobocznego wysokością na dwa przystające trójkąty prostokątne. W takim trójkącie sin 30° = 1/2, a cos 30° = √3/2, natomiast dla kąta 60° te wartości się zamieniają miejscami, czyli sin 60° = √3/2, a cos 60° = 1/2. Ponadto tg 30° = √3/3, a tg 60° = √3.

Dwa kąty ostre nazywamy dopełniającymi się, gdy ich suma wynosi 90°, co dokładnie odpowiada dwóm kątom ostrym w tym samym trójkącie prostokątnym. Ponieważ przyprostokątna leżąca naprzeciw jednego z tych kątów jest jednocześnie przyprostokątną przyległą do drugiego, zachodzi sin α = cos(90° − α) i podobna zależność między tangensem a cotangensem: tg α = ctg(90° − α). Ta własność pozwala odczytać wartość funkcji dla kąta, którego nie znamy wprost, jeśli znamy wartość odpowiedniej funkcji dla kąta z nim dopełniającego się. Na przykład skoro sin 60° = √3/2, to cos 30° musi mieć dokładnie tę samą wartość, ponieważ 30° i 60° to kąty dopełniające się.

Znajomość funkcji trygonometrycznych pozwala wyznaczyć nieznane boki lub kąty trójkąta prostokątnego, gdy dysponujemy tylko częścią informacji o figurze. Jeśli znamy jeden bok i jeden kąt ostry, możemy obliczyć pozostałe boki, przekształcając odpowiedni wzór na sinus, cosinus lub tangens tak, aby wyliczyć szukaną przyprostokątną lub przeciwprostokątną. Na przykład gdy przeciwprostokątna ma długość 10 centymetrów, a kąt ostry przy niej wynosi 30°, to przyprostokątna leżąca naprzeciw tego kąta ma długość równą 10 · sin 30° = 10 · 1/2 = 5 centymetrów. Jeżeli natomiast znamy dwa boki, kąt można wyznaczyć, obliczając odpowiedni stosunek boków i sprawdzając, dla jakiego kąta funkcja trygonometryczna przyjmuje taką wartość. Ta metoda jest podstawą wielu zadań praktycznych, na przykład obliczania wysokości obiektu na podstawie długości jego cienia i kąta padania promieni słonecznych.