Stereometria

Graniastosłup to bryła, która ma dwie przystające i równoległe podstawy będące wielokątami oraz ściany boczne będące równoległobokami. Gdy krawędzie boczne są prostopadłe do podstawy, graniastosłup nazywamy prostym, a wtedy ściany boczne są prostokątami. Gdy krawędzie boczne są nachylone do podstawy pod kątem różnym od dziewięćdziesięciu stopni, graniastosłup jest pochyły. Nazwa graniastosłupa pochodzi od kształtu podstawy, więc mówimy na przykład o graniastosłupie trójkątnym albo sześciokątnym. Pole powierzchni całkowitej takiej bryły to suma pól dwóch podstaw oraz pola powierzchni bocznej, czyli sumy pól wszystkich ścian bocznych. Objętość graniastosłupa liczymy zawsze tak samo, niezależnie od kształtu podstawy, mnożąc pole podstawy przez wysokość bryły. Wysokość to odległość między płaszczyznami obu podstaw, a nie długość krawędzi bocznej, co ma znaczenie zwłaszcza w graniastosłupach pochyłych.

Prostopadłościan to szczególny przypadek graniastosłupa prostego, którego wszystkie ściany są prostokątami, a sześcian to prostopadłościan, w którym dodatkowo wszystkie krawędzie mają jednakową długość. Prostopadłościan opisujemy trzema wymiarami, długością, szerokością i wysokością, oznaczanymi zwykle jako a, b i c. Oprócz przekątnych ścian, które są przekątnymi prostokątów, prostopadłościan ma też przekątną przestrzenną, czyli odcinek łączący dwa wierzchołki nienależące do tej samej ściany. Aby ją obliczyć, korzystamy dwukrotnie z twierdzenia Pitagorasa, najpierw wyznaczając przekątną podstawy, a potem traktując tę przekątną, wysokość bryły i szukaną przekątną przestrzenną jako boki trójkąta prostokątnego. Dla prostopadłościanu o krawędziach a, b i c przekątna przestrzenna wynosi d = √(a² + b² + c²). W sześcianie o krawędzi a przekątna przestrzenna jest równa a√3, co warto zapamiętać jako gotowy wynik, choć zawsze można go wyprowadzić od nowa.

Ostrosłup to bryła, która ma jedną podstawę będącą dowolnym wielokątem oraz ściany boczne w kształcie trójkątów, spotykające się w jednym wspólnym punkcie zwanym wierzchołkiem. Wysokość ostrosłupa to odcinek prostopadły do podstawy, poprowadzony z wierzchołka do płaszczyzny podstawy, i to właśnie ta wysokość, a nie krawędź boczna, wchodzi do wzoru na objętość. Gdy spodek wysokości pokrywa się ze środkiem podstawy, mówimy o ostrosłupie prawidłowym, co zdarza się na przykład wtedy, gdy podstawą jest kwadrat lub trójkąt równoboczny, a wszystkie krawędzie boczne są równe. Pole powierzchni całkowitej to suma pola podstawy i pola powierzchni bocznej, czyli sumy pól wszystkich ściennych trójkątów. Objętość ostrosłupa liczymy, mnożąc pole podstawy przez wysokość i dzieląc przez trzy, co odróżnia go od graniastosłupa o tej samej podstawie i wysokości, którego objętość jest trzykrotnie większa.

Walec to bryła obrotowa powstająca przez obrót prostokąta wokół jednego z jego boków. Ma dwie podstawy w kształcie przystających kół, leżące w płaszczyznach równoległych, oraz powierzchnię boczną, która po rozwinięciu na płaszczyznę staje się prostokątem. Jeden bok tego prostokąta ma długość równą wysokości walca, a drugi jest równy obwodowi koła podstawy, czyli 2πr. Dzięki temu pole powierzchni bocznej liczymy tak samo jak pole zwykłego prostokąta, mnożąc obwód podstawy przez wysokość. Pole powierzchni całkowitej to suma pola powierzchni bocznej i pól obu podstaw. Objętość walca, podobnie jak graniastosłupa, obliczamy, mnożąc pole podstawy, czyli pole koła, przez wysokość bryły. Warto zapamiętać, że w walcu wysokość i promień podstawy to dwie niezależne wielkości, więc znajomość jednej z nich nic nie mówi o drugiej.

Stożek to bryła obrotowa powstająca przez obrót trójkąta prostokątnego wokół jednej z przyprostokątnych. Ma jedną podstawę w kształcie koła oraz wierzchołek leżący poza płaszczyzną podstawy. Odcinek łączący wierzchołek z dowolnym punktem okręgu podstawy nazywamy tworzącą stożka, a jej długość oznaczamy zwykle literą l. Tworząca, wysokość stożka i promień podstawy tworzą trójkąt prostokątny, dlatego związane są zależnością wynikającą z twierdzenia Pitagorasa, gdzie tworząca jest przeciwprostokątną. Powierzchnia boczna stożka po rozwinięciu na płaszczyznę staje się wycinkiem koła o promieniu równym tworzącej, dlatego pole powierzchni całkowitej to suma pola koła podstawy i pola tego wycinka. Objętość stożka liczymy dokładnie tak jak objętość ostrosłupa, mnożąc pole podstawy przez wysokość i dzieląc przez trzy, ponieważ stożek można traktować jako graniczny przypadek ostrosłupa o podstawie wielokąta foremnego z bardzo dużą liczbą boków.

Przekrój osiowy to figura płaska, którą otrzymujemy, przecinając bryłę obrotową płaszczyzną przechodzącą przez jej oś symetrii, czyli przez środki obu podstaw albo przez wierzchołek i środek podstawy. W walcu przekrój osiowy jest zawsze prostokątem, którego jeden bok ma długość równą średnicy podstawy, a drugi jest równy wysokości walca. W stożku przekrój osiowy jest trójkątem równoramiennym, którego podstawa ma długość równą średnicy podstawy stożka, a ramiona są tworzącymi. Znajomość przekroju osiowego bardzo ułatwia rozwiązywanie zadań, ponieważ pozwala sprowadzić problem przestrzenny do zwykłej planimetrii, na przykład liczenia kąta między tworzącą a podstawą za pomocą funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym powstałym z połowy przekroju osiowego stożka. Dla kuli przekrojem przez środek jest zawsze koło o promieniu równym promieniowi kuli, zwane kołem wielkim.

Kula to zbiór wszystkich punktów przestrzeni odległych od ustalonego punktu, zwanego środkiem, o odległość nie większą niż dany promień, natomiast powierzchnię kuli, czyli sferę, tworzą punkty odległe od środka dokładnie o promień. W przeciwieństwie do graniastosłupów i ostrosłupów kula nie ma podstawy ani wierzchołków, a jej wzory na pole i objętość zależą tylko od jednego parametru, czyli promienia. Pole powierzchni kuli jest równe polu czterech kół wielkich, co daje wzór P = 4πr². Objętość kuli oblicza się ze wzoru V = (4/3)πr³. Warto pamiętać, że objętość rośnie z sześcianem promienia, więc dwukrotne zwiększenie promienia powiększa objętość ośmiokrotnie, a nie dwukrotnie, co często umyka intuicji. Jeżeli w zadaniu podana jest średnica zamiast promienia, trzeba ją najpierw podzielić przez dwa, zanim podstawimy do wzorów.

Kąt między odcinkiem a płaszczyzną to z definicji kąt między tym odcinkiem a jego rzutem prostokątnym na tę płaszczyznę. W praktyce, żeby wyznaczyć kąt między przekątną bryły, na przykład prostopadłościanu, a płaszczyzną podstawy, rzutujemy górny koniec przekątnej na podstawę i otrzymujemy w ten sposób przekątną podstawy. Powstaje wtedy trójkąt prostokątny, w którym jedną przyprostokątną jest wysokość bryły, drugą przyprostokątną jest przekątna podstawy, a przeciwprostokątną jest szukana przekątna przestrzenna. Kąt między przekątną a podstawą leży wtedy przy wierzchołku podstawy, a jego tangens jest równy stosunkowi wysokości bryły do przekątnej podstawy. Ta sama metoda działa dla ostrosłupów prawidłowych, gdzie często szuka się kąta między krawędzią boczną a podstawą, korzystając z trójkąta prostokątnego złożonego z wysokości ostrosłupa i promienia okręgu opisanego na podstawie. Kluczem jest zawsze poprawne wskazanie rzutu, ponieważ błędny rzut prowadzi do złego trójkąta.