Równania i nierówności wymierne

Wyrażeniem wymiernym nazywamy ułamek, w którego liczniku lub mianowniku występuje niewiadoma. Przykładem jest ułamek 1/(x − 2), albo ułamek (x + 3)/x. Zanim zaczniemy cokolwiek liczyć, dla każdego wyrażenia wymiernego musimy wyznaczyć jego dziedzinę, czyli zbiór tych liczb, które wolno podstawić za niewiadomą. Warunkiem koniecznym jest to, żeby mianownik ułamka nie był równy zero, ponieważ dzielenie przez zero nie jest w matematyce określone. Aby wyznaczyć dziedzinę, przyrównujemy mianownik do zera i rozwiązujemy otrzymane równanie, a następnie z całego zbioru liczb rzeczywistych wykluczamy znalezione rozwiązania. Dla ułamka 1/(x − 2) mianownik zeruje się dla x = 2, więc dziedziną tego wyrażenia jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych oprócz liczby 2.

Wyznaczenie dziedziny to pierwszy i obowiązkowy krok przy rozwiązywaniu każdego równania oraz każdej nierówności wymiernej, ponieważ każde dalsze przekształcenie, na przykład mnożenie obu stron przez mianownik, jest poprawne tylko dla tych liczb, dla których wyrażenie w ogóle ma sens. Jeśli pominiemy ten krok, możemy na końcu otrzymać rozwiązanie, które w rzeczywistości nie należy do dziedziny wyjściowego równania, a więc nie jest prawdziwym rozwiązaniem. Taką liczbę, która spełnia przekształcone równanie, ale nie należy do dziedziny równania wyjściowego, nazywamy pierwiastkiem obcym. Dlatego dobrą praktyką jest zapisanie dziedziny od razu na początku rozwiązania, zanim wykonamy jakiekolwiek dalsze przekształcenia, a na końcu zawsze porównujemy otrzymane rozwiązania z wcześniej wyznaczoną dziedziną. Dziedzina obowiązuje przez całe rozwiązanie, nie tylko na etapie sprawdzania wyniku.

Proste równanie wymierne, w którym niewiadoma występuje w mianowniku dokładnie jednego ułamka po każdej stronie równania, rozwiązujemy, sprowadzając obie strony do wspólnego mianownika, a następnie mnożąc obie strony równania przez ten wspólny mianownik, co pozwala pozbyć się ułamków. Po tym przekształceniu zostaje zwykłe równanie liniowe lub kwadratowe, które rozwiązujemy znanymi metodami. Rozważmy równanie 2/(x − 1) = 1/(x + 2), którego dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych różnych od 1 oraz od −2. Mnożąc obie strony przez iloczyn obu mianowników, otrzymujemy 2(x + 2) = 1(x − 1), czyli 2x + 4 = x − 1, skąd x = −5. Ponieważ liczba −5 należy do wyznaczonej wcześniej dziedziny, jest ona rzeczywistym rozwiązaniem tego równania.

Po rozwiązaniu przekształconego równania zawsze wracamy do wyznaczonej na początku dziedziny i sprawdzamy, czy otrzymana liczba do niej należy. Jeśli otrzymana liczba nie należy do dziedziny, odrzucamy ją, mimo że formalnie spełnia przekształcone równanie bez ułamków, ponieważ w wyjściowym równaniu wymiernym prowadziłaby do dzielenia przez zero. Taka liczba, która spełnia równanie po przekształceniach, ale nie należy do dziedziny równania wyjściowego, nazywana jest pierwiastkiem obcym. Rozważmy równanie x/(x − 3) = 3/(x − 3), którego dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych różnych od 3. Po pomnożeniu obu stron przez (x − 3) otrzymujemy x = 3, ale liczba 3 nie należy do dziedziny tego równania, więc w rzeczywistości nie ma ono żadnego rozwiązania. Dlatego przy równaniach wymiernych sprawdzenie dziedziny na końcu jest równie ważne, jak samo przekształcanie równania.

Nierówność wymierna powstaje, gdy wyrażenie wymierne porównujemy z zerem za pomocą znaku mniejszy, większy, mniejszy lub równy albo większy lub równy. Tak jak przy równaniach wymiernych, pierwszym krokiem jest zawsze wyznaczenie dziedziny, czyli wykluczenie liczb, dla których mianownik się zeruje. Kluczowa różnica względem równań wymiernych polega na tym, że przy nierównościach nie wolno mnożyć obu stron przez wyrażenie zawierające niewiadomą, ponieważ nie wiemy z góry, czy to wyrażenie jest dodatnie, czy ujemne, a od tego zależy, czy znak nierówności trzeba odwrócić. Z tego powodu nierówności wymiernych, nawet tych najprostszych, nie rozwiązuje się przez mnożenie przez mianownik, tylko przez sprowadzenie całej nierówności do jednej strony i analizę znaku otrzymanego ułamka, co opisują kolejne dwie sekcje.

Aby rozwiązać prostą nierówność wymierną, przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę, tak żeby po drugiej stronie została sama liczba zero, a następnie sprowadzamy powstałe wyrażenie do jednego ułamka o wspólnym mianowniku. Dzięki temu nierówność przyjmuje postać, w której pewien ułamek jest porównany z zerem. Rozważmy nierówność 1/(x − 1) > 0, przy czym dziedziną jest zbiór liczb różnych od 1. Ta nierówność jest już zapisana w wymaganej postaci, ponieważ po jednej stronie mamy pojedynczy ułamek, a po drugiej zero. Gdyby po lewej stronie znajdowała się różnica dwóch ułamków o różnych mianownikach, należałoby najpierw sprowadzić je do wspólnego mianownika i wykonać odejmowanie, zanim przejdziemy do analizy znaku.

Gdy nierówność ma już postać ułamka porównanego z zerem, jej rozwiązanie sprowadza się do zbadania, dla jakich liczb licznik i mianownik mają odpowiednie znaki, ponieważ znak całego ułamka zależy właśnie od znaków licznika i mianownika. Zaznaczamy na osi liczbowej miejsca zerowe licznika oraz miejsca zerowe mianownika, które zawsze wykluczamy z dziedziny, a te punkty dzielą oś liczbową na przedziały, w których cały ułamek ma stały znak. W każdym z tych przedziałów wystarczy sprawdzić znak ułamka dla jednej wybranej liczby, żeby poznać znak w całym przedziale. Dla nierówności 1/(x − 1) > 0 licznik jest zawsze dodatni, więc znak całego ułamka zależy wyłącznie od znaku mianownika, który jest dodatni dla x > 1. Rozwiązaniem tej nierówności jest więc przedział x > 1, a punkt x = 1 zawsze pozostaje wykluczony, ponieważ nie należy do dziedziny.

Rozwiązanie nierówności wymiernej zapisujemy jako sumę przedziałów wyznaczonych metodą znaków, pamiętając o dwóch rodzajach wykluczeń. Punkty, w których zeruje się mianownik, wykluczamy zawsze, niezależnie od tego, jaki znak nierówności występuje w zadaniu, ponieważ w tych punktach wyrażenie wymierne w ogóle nie jest określone. Punkty, w których zeruje się licznik, wykluczamy tylko wtedy, gdy nierówność jest ostra, natomiast przy nierówności nieostrej punkty zerowe licznika należą do rozwiązania, o ile oczywiście należą też do dziedziny. Dla nierówności 1/(x − 1) ≥ 0 licznik nigdy się nie zeruje, więc jedynym wykluczeniem pozostaje punkt x = 1 wynikający z dziedziny, a rozwiązaniem jest przedział x > 1. Warto zawsze na końcu zestawić otrzymane przedziały z dziedziną wyznaczoną na początku, żeby mieć pewność, że żaden punkt wykluczony z dziedziny nie został przypadkiem uwzględniony w odpowiedzi.