Równania i nierówności liniowe

Równaniem liniowym z jedną niewiadomą nazywamy równanie, które po wykonaniu wszystkich przekształceń można sprowadzić do postaci ax + b = 0, gdzie x jest niewiadomą, a a oraz b są liczbami rzeczywistymi zwanymi współczynnikami. Kluczowe jest to, że niewiadoma występuje wyłącznie w pierwszej potędze, więc w takim równaniu nie ma wyrażeń typu x² ani x w mianowniku. Jeśli współczynnik a jest różny od zera, równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie, które wyznaczamy wzorem x = −b/a. Przykładowo równanie 3x + 6 = 0 sprowadza się do x = −2, ponieważ dzielimy obie strony przez współczynnik 3 stojący przy x. Rozwiązaniem równania liniowego nazywamy każdą liczbę, która podstawiona za niewiadomą sprawia, że lewa strona równania staje się równa prawej stronie.

Aby rozwiązać równanie liniowe, przekształcamy je krok po kroku tak, by po jednej stronie zostawić samą niewiadomą. Wolno przy tym wykonywać wyłącznie przekształcenia równoważne, czyli takie, które nie zmieniają zbioru rozwiązań równania. Do przekształceń równoważnych należy dodanie lub odjęcie tej samej liczby od obu stron równania, a także pomnożenie lub podzielenie obu stron przez tę samą liczbę różną od zera. W praktyce najpierw zbieramy wyrazy z niewiadomą po jednej stronie, a wyrazy liczbowe po drugiej, pamiętając, że przeniesienie wyrazu na drugą stronę równania oznacza zmianę jego znaku na przeciwny. Rozwiązując równanie 5x − 3 = 2x + 9, przenosimy 2x na lewą stronę, a −3 na prawą stronę, otrzymując 3x = 12, skąd x = 4. Na koniec warto zawsze sprawdzić wynik, podstawiając go do równania wyjściowego.

Nie każde równanie liniowe ma dokładnie jedno rozwiązanie. Gdy w trakcie przekształceń współczynnik przy niewiadomej po obu stronach się skróci, mogą się zdarzyć dwie szczególne sytuacje. Jeśli otrzymamy zdanie fałszywe, na przykład 0 = 5, to równanie nazywamy sprzecznym i nie ma ono żadnego rozwiązania, czyli zbiór rozwiązań jest zbiorem pustym. Jeśli natomiast otrzymamy zdanie prawdziwe dla każdej liczby, na przykład 0 = 0, to równanie nazywamy tożsamościowym i spełnia je każda liczba rzeczywista. Przykładem równania sprzecznego jest 2x + 3 = 2x + 7, ponieważ po odjęciu 2x od obu stron zostaje 3 = 7, co jest fałszem. Przykładem równania tożsamościowego jest 2x + 4 = 2(x + 2), ponieważ obie strony są zawsze sobie równe niezależnie od wartości x.

Nierówność liniowa powstaje, gdy w miejscu znaku równości między wyrażeniem liniowym a liczbą pojawia się jeden ze znaków nierówności, czyli mniejszy, większy, mniejszy lub równy albo większy lub równy. Ogólna postać takiej nierówności to ax + b > 0, przy czym zamiast znaku > może wystąpić dowolny inny znak nierówności. W odróżnieniu od równania liniowego, które zwykle ma jedno rozwiązanie, nierówność liniowa najczęściej ma nieskończenie wiele rozwiązań, ponieważ spełnia ją cały przedział liczb, a nie pojedyncza liczba. Rozwiązaniem nierówności nazywamy każdą liczbę, dla której po podstawieniu w miejsce niewiadomej nierówność staje się zdaniem prawdziwym. Na przykład liczba 10 spełnia nierówność x > 3, ponieważ 10 rzeczywiście jest większe od 3, natomiast liczba 1 tej nierówności nie spełnia. Nierówności liniowe rozwiązujemy podobnie do równań liniowych, z jedną kluczową różnicą dotyczącą znaku przy mnożeniu i dzieleniu, którą opisuje kolejna sekcja.

Rozwiązywanie nierówności liniowych przebiega tak samo jak równań, dopóki dodajemy lub odejmujemy wyrazy od obu stron, ponieważ takie przekształcenia nigdy nie zmieniają kierunku nierówności. Sytuacja zmienia się, gdy chcemy pomnożyć lub podzielić obie strony nierówności przez liczbę ujemną. Wtedy znak nierówności trzeba odwrócić na przeciwny, czyli mniejszy zamienia się na większy, a mniejszy lub równy zamienia się na większy lub równy. Wynika to stąd, że mnożenie przez liczbę ujemną odwraca porządek liczb na osi liczbowej, na przykład 2 < 5, ale po pomnożeniu obu stron przez −1 otrzymujemy −2 oraz −5, a −2 > −5. Rozwiązując nierówność −3x + 6 > 0, przenosimy 6 na prawą stronę ze zmienionym znakiem, otrzymując −3x > −6, a następnie dzielimy obie strony przez −3, co wymusza zmianę znaku nierówności, dając w wyniku x < 2. Pomnożenie lub podzielenie przez liczbę dodatnią nigdy nie zmienia kierunku nierówności.

Rozwiązaniem nierówności liniowej jest zwykle nieskończony zbiór liczb, dlatego zamiast wypisywać pojedyncze liczby, zapisujemy go w postaci przedziału na osi liczbowej. Przedział otwarty, w którym końce nie należą do zbioru rozwiązań, zapisujemy jako (a, b), a przedział domknięty, w którym końce należą do zbioru rozwiązań, zapisujemy jako [a, b]. Nierówność ostra daje przedział otwarty w danym końcu, natomiast nierówność nieostra daje przedział domknięty w danym końcu. Jeśli rozwiązaniem nierówności jest x > 2, to zapisujemy to jako przedział (2, +∞), przy czym liczba 2 nie należy do rozwiązania, a koniec przedziału przy nieskończoności zawsze zapisujemy jako otwarty, ponieważ nieskończoność nie jest liczbą i nigdy nie może należeć do przedziału. Na osi liczbowej koniec przedziału, który nie należy do rozwiązania, zaznaczamy kółkiem niezamalowanym, a koniec, który należy do rozwiązania, zaznaczamy kółkiem zamalowanym.

Każde rozwiązanie równania lub nierówności liniowej warto zweryfikować, ponieważ łatwo popełnić błąd rachunkowy przy przenoszeniu wyrazów. Sprawdzenie równania polega na podstawieniu znalezionej wartości niewiadomej do równania wyjściowego i sprawdzeniu, czy lewa strona rzeczywiście równa się prawej. Sprawdzenie nierówności jest nieco trudniejsze, ponieważ rozwiązań jest nieskończenie wiele, dlatego zamiast sprawdzać każdą liczbę, wybieramy jedną przykładową liczbę należącą do otrzymanego przedziału i podstawiamy ją do nierówności wyjściowej. Jeśli po podstawieniu otrzymamy zdanie prawdziwe, mamy dobry sygnał, że przedział został wyznaczony poprawnie, choć taka kontrola nie zastępuje dokładnego sprawdzenia każdego kroku przekształceń. Warto też pamiętać, że rozwiązanie równania liniowego to zawsze jedna liczba, natomiast rozwiązanie nierówności liniowej to zwykle cały przedział liczb, i mylenie tych dwóch pojęć prowadzi do błędnego zapisu odpowiedzi.