Równania i nierówności kwadratowe

Równaniem kwadratowym z jedną niewiadomą nazywamy równanie, które można sprowadzić do postaci ax² + bx + c = 0, gdzie a, b oraz c są liczbami rzeczywistymi, a współczynnik a musi być różny od zera. Warunek a ≠ 0 jest konieczny, ponieważ gdyby a wynosiło zero, wyraz z x² by zniknął i równanie stałoby się liniowe, a nie kwadratowe. Współczynnik a nazywamy współczynnikiem przy x², współczynnik b współczynnikiem przy x, a liczbę c wyrazem wolnym. Przykładem równania kwadratowego jest 2x² − 3x + 1 = 0, w którym a = 2, b = −3, a c = 1. Rozwiązaniami równania kwadratowego, zwanymi też pierwiastkami tego równania, są liczby, które podstawione za x sprawiają, że lewa strona równania staje się równa zero.

Do rozwiązywania równań kwadratowych służy wielkość zwana wyróżnikiem, oznaczana grecką literą delta, którą obliczamy ze wzoru Δ = b² − 4ac. Wartość wyróżnika decyduje o tym, ile rozwiązań ma dane równanie kwadratowe. Gdy delta jest dodatnia, równanie ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste. Gdy delta jest równa zero, równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie, nazywane czasem pierwiastkiem podwójnym. Gdy delta jest ujemna, równanie nie ma żadnego rozwiązania rzeczywistego, ponieważ nie istnieje pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej w zbiorze liczb rzeczywistych. Dla równania 2x² − 3x + 1 = 0 wyróżnik wynosi (−3)² − 4 · 2 · 1 = 9 − 8 = 1. Ponieważ delta jest tu dodatnia, to równanie ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste.

Gdy wyróżnik delta jest nieujemny, pierwiastki równania kwadratowego obliczamy ze wzorów x₁ = (−b − √Δ) / (2a) oraz x₂ = (−b + √Δ) / (2a). Gdy delta jest równa zero, oba wzory dają tę samą wartość, ponieważ pierwiastek z zera wynosi zero, dlatego mówimy wtedy o jednym pierwiastku podwójnym i liczymy go ze wzoru x₀ = −b / (2a). Wracając do równania 2x² − 3x + 1 = 0, w którym wyliczyliśmy Δ = 1, mamy √Δ = 1, więc x₁ = (3 − 1)/4 = 1/2, a x₂ = (3 + 1)/4 = 1. Warto sprawdzić poprawność obliczeń, podstawiając obie wartości do równania wyjściowego.

Każdy trójmian kwadratowy ax² + bx + c można zapisać w postaci kanonicznej jako a(x − p)² + q, gdzie p oraz q są liczbami wyznaczonymi wzorami p = −b/(2a) oraz q = −Δ/(4a). Liczby p i q mają ważną interpretację geometryczną, ponieważ para p, q to współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej odpowiadającej temu trójmianowi. Współrzędna p mówi, dla jakiego argumentu funkcja przyjmuje wartość najmniejszą, gdy a jest dodatnie, albo największą, gdy a jest ujemne, a współrzędna q podaje właśnie tę wartość najmniejszą lub największą. Dla równania 2x² − 3x + 1 = 0 mamy p = 3/4, a q = −1/8, co oznacza, że wierzchołek odpowiadającej mu paraboli znajduje się w punkcie o tych współrzędnych. Postać kanoniczna jest szczególnie przydatna do szybkiego odczytania wierzchołka paraboli bez rysowania całego wykresu.

Gdy wyróżnik delta równania kwadratowego jest nieujemny, trójmian kwadratowy ax² + bx + c można zapisać w postaci iloczynowej jako a(x − x₁)(x − x₂), gdzie x₁ oraz x₂ są pierwiastkami tego trójmianu wyznaczonymi ze wzorów podanych wcześniej. Jeśli delta jest równa zero i pierwiastek jest tylko jeden, postać iloczynową zapisujemy jako a(x − x₀)². Postać iloczynowa jest wygodna, gdy chcemy szybko odczytać pierwiastki trójmianu, bo wystarczy przyrównać każdy z czynników do zera, oraz gdy rozwiązujemy nierówności kwadratowe metodą analizy znaku iloczynu. Dla trójmianu 2x² − 3x + 1, którego pierwiastkami są 1/2 oraz 1, postać iloczynowa to 2(x − 1/2)(x − 1). Gdy delta jest ujemna, trójmianu nie da się zapisać w postaci iloczynowej przy użyciu liczb rzeczywistych, ponieważ nie istnieją wtedy rzeczywiste pierwiastki.

Wzory Viète'a, w podstawowym zakresie, opisują związek między współczynnikami równania kwadratowego a sumą i iloczynem jego pierwiastków, bez konieczności wcześniejszego wyliczania samych pierwiastków. Jeśli równanie ax² + bx + c = 0 ma dwa pierwiastki x₁ oraz x₂, to ich suma wynosi x₁ + x₂ = −b/a, a ich iloczyn wynosi x₁x₂ = c/a. Wzory te pozwalają szybko sprawdzić poprawność wyliczonych wcześniej pierwiastków, bez podstawiania ich z powrotem do całego równania. Dla równania 2x² − 3x + 1 = 0 suma pierwiastków powinna wynosić 3/2, a rzeczywiście 1/2 + 1 = 3/2, natomiast iloczyn pierwiastków powinien wynosić 1/2, a rzeczywiście 1/2 · 1 = 1/2. Wzory Viète'a można też wykorzystać w drugą stronę, żeby ułożyć równanie kwadratowe, znając sumę i iloczyn jego pierwiastków.

Nierówność kwadratowa powstaje, gdy trójmian kwadratowy ax² + bx + c porównujemy z zerem za pomocą znaku mniejszy, większy, mniejszy lub równy albo większy lub równy, zamiast znaku równości. Najwygodniejszym sposobem rozwiązywania takiej nierówności jest odwołanie się do wykresu funkcji kwadratowej, czyli paraboli, ponieważ znak trójmianu dla danego x odpowiada dokładnie temu, czy wykres w tym miejscu leży nad osią x, na osi x, czy pod osią x. Kształt paraboli zależy od znaku współczynnika a. Gdy a jest dodatnie, ramiona paraboli są skierowane do góry, więc wykres leży nad osią x poza pierwiastkami, a między pierwiastkami leży pod osią x. Gdy a jest ujemne, ramiona paraboli są skierowane w dół, więc sytuacja jest odwrotna. Miejsca, w których parabola przecina oś x, to pierwiastki trójmianu, a liczba tych miejsc zależy od znaku wyróżnika delta dokładnie tak samo, jak przy rozwiązywaniu równania kwadratowego.

Aby rozwiązać nierówność kwadratową, najpierw wyznaczamy pierwiastki odpowiedniego trójmianu tak jak przy równaniu kwadratowym, licząc wyróżnik delta, a następnie na tej podstawie odczytujemy odpowiedni fragment paraboli. Gdy delta jest dodatnia, trójmian ma dwa różne pierwiastki, które dzielą oś x na trzy części. Przy a dodatnim ramiona paraboli są skierowane do góry, więc trójmian jest dodatni na zewnątrz pierwiastków, a ujemny między nimi. Przy a ujemnym ramiona są skierowane w dół, więc sytuacja jest odwrotna: trójmian jest ujemny na zewnątrz pierwiastków, a dodatni między nimi. Gdy delta jest ujemna, trójmian w ogóle nie ma pierwiastków i parabola nie przecina osi x, więc na całej dziedzinie ma stały znak zgodny ze znakiem a, dodatni przy a dodatnim, a ujemny przy a ujemnym. Gdy delta jest równa zero, parabola dotyka osi x w jednym punkcie, gdzie trójmian ma wartość zero, a poza tym punktem ma stały znak zgodny ze znakiem a, niezależnie od tego, czy a jest dodatnie, czy ujemne. Przy nierównościach nieostrych pierwiastki trójmianu należą do rozwiązania, a przy nierównościach ostrych nie należą.