Rachunek prawdopodobieństwa

Doświadczeniem losowym nazywamy taką czynność, której wynik nie jest z góry znany, ale znamy zbiór wszystkich możliwych wyników, jakie mogą się pojawić, na przykład rzut kostką do gry czy losowanie kuli z urny. Każdy pojedynczy, najprostszy możliwy wynik takiego doświadczenia nazywamy zdarzeniem elementarnym. W rzucie zwykłą sześcienną kostką zdarzeniami elementarnymi są wypadnięcie jedynki, dwójki, trójki, czwórki, piątki i szóstki, czyli w sumie sześć różnych zdarzeń elementarnych. Zdarzenia elementarne muszą być tak zdefiniowane, żeby przy jednym wykonaniu doświadczenia zaszło dokładnie jedno z nich, nigdy dwa naraz i nigdy żadne. To założenie jest bardzo ważne, ponieważ cała klasyczna definicja prawdopodobieństwa opiera się na zliczaniu zdarzeń elementarnych, więc błędne ich wyznaczenie od razu prowadzi do błędnego wyniku.

Zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych danego doświadczenia losowego nazywamy przestrzenią zdarzeń elementarnych i oznaczamy grecką literą Ω. W rzucie kostką Ω to zbiór złożony z sześciu elementów, od jedynki do szóstki. Zdarzeniem losowym nazywamy dowolny podzbiór przestrzeni Ω, czyli dowolny zestaw zdarzeń elementarnych, które nas interesują. Na przykład zdarzenie polegające na wyrzuceniu liczby parzystej to podzbiór złożony z dwójki, czwórki i szóstki. Zdarzenie losowe zachodzi wtedy, gdy wynik przeprowadzonego doświadczenia jest jednym ze zdarzeń elementarnych należących do tego podzbioru. Szczególnym zdarzeniem jest zdarzenie pewne, czyli cała przestrzeń Ω, które zachodzi zawsze, oraz zdarzenie niemożliwe, czyli zbiór pusty, które nie zachodzi nigdy, na przykład wyrzucenie siódemki na zwykłej kostce.

Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, nazywana też definicją Laplace'a, stosuje się wtedy, gdy przestrzeń zdarzeń elementarnych jest skończona i wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne, czyli żadne z nich nie jest bardziej ani mniej prawdopodobne od pozostałych. W takiej sytuacji prawdopodobieństwo zdarzenia losowego A definiujemy jako P(A) = |A| / |Ω|, czyli stosunek liczby zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A do liczby wszystkich zdarzeń elementarnych w przestrzeni Ω. Na przykład w rzucie zwykłą kostką niech A oznacza wyrzucenie liczby podzielnej przez trzy: sprzyjają mu wyniki trójka i szóstka, czyli |A| = 2, a ponieważ |Ω| = 6, otrzymujemy P(A) = 2 / 6 = 1 / 3. Liczbę zdarzeń sprzyjających i liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych bardzo często wyznacza się właśnie za pomocą wzorów kombinatorycznych, na przykład licząc, na ile sposobów można wylosować określony zestaw kart. Warunek jednakowego prawdopodobieństwa zdarzeń elementarnych jest kluczowy, ponieważ definicja klasyczna nie działa na przykład dla kostki niesymetrycznej, gdzie poszczególne ścianki wypadają z różną szansą, i wtedy trzeba sięgnąć po inne, bardziej ogólne definicje prawdopodobieństwa.

Prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia losowego A spełnia zawsze 0 ≤ P(A) ≤ 1, ponieważ liczba zdarzeń sprzyjających nigdy nie może być ujemna ani większa od liczby wszystkich zdarzeń elementarnych. Prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego, czyli całej przestrzeni Ω, wynosi P(Ω) = 1, a prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego, czyli zbioru pustego, wynosi P(∅) = 0. Im więcej zdarzeń elementarnych sprzyja danemu zdarzeniu, tym wyższe jest jego prawdopodobieństwo, dlatego prawdopodobieństwo bywa czasem podawane w procentach, gdzie jeden odpowiada stu procentom. Wynik obliczeń, który wychodzi ujemny albo większy od jedynki, jest zawsze sygnałem błędu rachunkowego, ponieważ taki wynik nie mieści się w dopuszczalnym zakresie. Te własności są bardzo przydatne do szybkiego sprawdzania poprawności obliczeń, jeszcze zanim przeanalizujemy treść zadania w szczegółach.

Zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia A nazywamy zdarzenie polegające na tym, że zdarzenie A nie zachodzi. Zdarzenie A i zdarzenie do niego przeciwne razem wyczerpują całą przestrzeń zdarzeń elementarnych, czyli każde zdarzenie elementarne należy albo do A, albo do zdarzenia przeciwnego, nigdy do obu naraz. Z tego wynika bardzo użyteczna zależność, że P(A) + P(A') = 1. Dzięki temu, gdy obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia A wprost jest trudne, często łatwiej jest obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego i odjąć je od jedynki. Klasycznym przykładem jest zdarzenie polegające na wyrzuceniu co najmniej jednej szóstki w kilku rzutach kostką, gdzie znacznie łatwiej jest policzyć prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego, czyli sytuacji, w której szóstka nie wypadnie ani razu.

Sumą zdarzeń losowych A i B nazywamy zdarzenie polegające na tym, że zachodzi przynajmniej jedno z nich, czyli A albo B, albo oba naraz. Zdarzenia A i B nazywamy rozłącznymi, jeśli nie mają żadnych wspólnych zdarzeń elementarnych, czyli nie mogą zajść jednocześnie, tak jak wyrzucenie jedynki i wyrzucenie szóstki w jednym rzucie kostką. Dla zdarzeń rozłącznych prawdopodobieństwo sumy wynosi P(A ∪ B) = P(A) + P(B). Gdy zdarzenia A i B mogą zachodzić jednocześnie, czyli mają część wspólną, samo dodanie ich prawdopodobieństw policzyłoby tę część wspólną dwukrotnie, dlatego trzeba ją odjąć. Ogólny wzór na prawdopodobieństwo sumy dwóch zdarzeń, P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B), mówi więc, że jest ono równe sumie prawdopodobieństw obu zdarzeń pomniejszonej o prawdopodobieństwo ich części wspólnej, co dla zdarzeń rozłącznych sprowadza się do zwykłego dodawania, ponieważ część wspólna jest wtedy zbiorem pustym o prawdopodobieństwie zero.

Iloczynem, czyli częścią wspólną zdarzeń A i B, oznaczaną A ∩ B, nazywamy zdarzenie polegające na tym, że zachodzą jednocześnie i A, i B. W rzucie kostką, jeśli A oznacza wyrzucenie liczby parzystej, a B oznacza wyrzucenie liczby większej niż trzy, to częścią wspólną tych zdarzeń jest wyrzucenie czwórki lub szóstki, ponieważ te wyniki spełniają oba warunki naraz. Rozpoznanie, czy dwa rozważane zdarzenia mają wspólne zdarzenia elementarne, jest niezbędne, zanim zastosujemy wzór na prawdopodobieństwo sumy, ponieważ decyduje o tym, czy możemy pominąć odejmowanie części wspólnej, czy nie. Warto rysować dla takich sytuacji prosty diagram, w którym wypisujemy wszystkie zdarzenia elementarne przestrzeni Ω i zaznaczamy, które z nich należą do A, które do B, a które do obu zbiorów naraz, co znacznie ułatwia poprawne zliczenie.

W wielu zadaniach z rachunku prawdopodobieństwa najtrudniejszym krokiem nie jest zastosowanie wzoru na prawdopodobieństwo, tylko poprawne policzenie liczby zdarzeń elementarnych sprzyjających i wszystkich możliwych, do czego wykorzystuje się właśnie kombinatorykę. Jeśli doświadczenie polega na losowaniu kilku elementów naraz i kolejność losowania nie jest istotna, liczbę wszystkich możliwych wyników liczymy za pomocą kombinacji. Jeśli natomiast kolejność ma znaczenie, na przykład przy ustawianiu wylosowanych osób w rzędzie, sięgamy po wariacje albo permutacje. Zanim przystąpimy do liczenia prawdopodobieństwa, warto więc najpierw jasno opisać przestrzeń zdarzeń elementarnych i sprawdzić, czy wszystkie te zdarzenia są jednakowo prawdopodobne, a dopiero potem policzyć osobno liczbę zdarzeń sprzyjających i liczbę wszystkich zdarzeń, korzystając z odpowiednich wzorów kombinatorycznych poznanych wcześniej.