Procenty

Procent to inny sposób zapisu ułamka, którego mianownikiem jest zawsze 100. Zapis 1% oznacza dokładnie 1/100, czyli 0,01. Dzięki temu każdy procent da się od razu zamienić na ułamek dziesiętny, dzieląc liczbę procent przez 100, czyli przesuwając przecinek o dwa miejsca w lewo. 35% to 35/100 = 0,35, a 250% to 250/100 = 2,5. Zamiana w drugą stronę też jest prosta: aby ułamek dziesiętny zamienić na procent, mnożymy go przez 100 i dopisujemy znak procent, czyli przesuwamy przecinek o dwa miejsca w prawo. Ta wzajemna zamienność ułamka, ułamka dziesiętnego i zapisu procentowego jest podstawą wszystkich dalszych obliczeń procentowych, dlatego warto ją opanować na pamięć, zanim przejdzie się do bardziej złożonych zadań.

Aby obliczyć, ile wynosi dany procent z danej liczby, zamieniamy procent na ułamek dziesiętny i mnożymy przez tę liczbę. Jeśli chcemy policzyć, ile to jest p% liczby a, zamieniamy p% na p/100 i mnożymy przez a. 20% z liczby 150 liczymy jako (20/100) · 150 = 0,2 · 150 = 30. Ta sama metoda działa niezależnie od tego, czy procent jest mniejszy, czy większy od 100. Obliczenie 150% z liczby 40 to 1,5 · 40 = 60, czyli wynik większy od liczby wyjściowej, bo bierzemy więcej niż całość. Warto zapamiętać skróty dla często spotykanych wartości: 50% to połowa liczby, 25% to jedna czwarta, a 10% to jedna dziesiąta, co pozwala liczyć niektóre procenty w pamięci bez pisemnego mnożenia.

Czasem znamy wynik obliczenia procentowego i chcemy odtworzyć liczbę wyjściową, z której ten procent policzono. Jeśli wiadomo, że p% pewnej liczby a wynosi w, to liczbę a wyznaczamy, dzieląc w przez ułamek odpowiadający p%, czyli przez p/100. Jeśli wiadomo, że 40% pewnej liczby wynosi 60, to szukaną liczbę obliczamy jako 60 / 0,4 = 150. Sprawdzenie jest proste: 40% z 150 to rzeczywiście 60. Ten typ zadania pojawia się często w kontekście cen po obniżce, kiedy znamy cenę po rabacie i procent rabatu, a chcemy odtworzyć cenę wyjściową. Trzeba wtedy uważać, żeby nie mylić procentu z ceny wyjściowej z procentem z ceny obniżonej, bo to są dwie różne podstawy odniesienia, a podzielenie przez złą liczbę da błędny wynik.

Innym typem zadania jest pytanie, jakim procentem liczby a jest liczba b. Odpowiedź otrzymujemy, dzieląc b przez a i zamieniając otrzymany ułamek na procent, czyli mnożąc wynik dzielenia przez 100. Jeśli chcemy sprawdzić, jakim procentem liczby 40 jest liczba 10, dzielimy 10 / 40 = 0,25, co po zamianie na procent daje 25%. Kluczowe jest to, która liczba pełni rolę odniesienia, czyli tak zwanej podstawy: w pytaniu jakim procentem liczby a jest liczba b, to właśnie a stoi w mianowniku. Zamiana kolejności liczb zmienia wynik, bo 40 jest 400% liczby 10, a nie 25%. Ten typ obliczeń jest podstawą porównywania wielkości względem siebie, na przykład przy porównywaniu wyniku sprzedaży w dwóch różnych miesiącach.

Gdy wielkość rośnie o pewien procent, nową wartość obliczamy, dodając do wartości początkowej odpowiedni procent tej wartości, co równoważnie można zapisać jako mnożenie przez czynnik (1 + p/100). Cena 200 zł, wzrastając o 15%, daje nową cenę równą 200 · 1,15 = 230 zł. Analogicznie, gdy wielkość maleje o dany procent, nową wartość obliczamy, mnożąc wartość początkową przez czynnik (1 − p/100). Cena 200 zł, obniżona o 15%, daje 200 · 0,85 = 170 zł. Trzeba przy tym pamiętać, że wzrost o dany procent, a następnie spadek o ten sam procent, nie przywraca wartości początkowej, ponieważ za każdym razem procent liczymy od innej podstawy. Cena 200 zł po wzroście o 10% daje 220 zł, a po kolejnym spadku o 10% liczonym już od nowej ceny 220 zł daje 198 zł, a nie 200 zł.

Punkt procentowy to jednostka, której używamy do opisania różnicy między dwiema wartościami procentowymi, a nie do opisania względnej zmiany jednej z nich. Jeśli oprocentowanie lokaty wzrosło z 4% do 6%, to poprawnie mówimy, że wzrosło o 2 punkty procentowe, bo tyle wynosi różnica 6 − 4. Nie jest to jednak to samo co wzrost o 2%, bo procentowy wzrost liczylibyśmy względem wartości początkowej: różnica 2 punktów procentowych przy podstawie 4% odpowiada wzrostowi względnemu o 2 : 4, czyli o 50%. Mylenie tych dwóch pojęć jest jednym z najczęstszych błędów przy interpretacji danych statystycznych i ekonomicznych, na przykład w informacjach o inflacji, bezrobociu czy wynikach wyborów, gdzie zawsze warto sprawdzić, czy podana liczba to zmiana w punktach procentowych, czy zmiana procentowa względem poprzedniej wartości.

Procent składany opisuje sytuację, w której odsetki naliczane w kolejnych okresach doliczane są do kapitału i w następnym okresie same również przynoszą odsetki. W przeciwieństwie do pojedynczego wzrostu procentowego, gdzie procent liczymy raz od stałej podstawy, przy procencie składanym podstawa zmienia się w każdym okresie na nowo, bo zawiera już wcześniej doliczone odsetki. Jeśli kapitał początkowy wynosi K, a oprocentowanie w jednym okresie wynosi p%, to po n takich okresach kapitał wynosi K · (1 + p/100)^n. 1000 zł ulokowane na 3 lata przy rocznym oprocentowaniu 5%, doliczanym co roku do kapitału, daje po 3 latach 1000 · 1,05³ ≈ 1157,63 zł, czyli więcej niż przy prostym doliczeniu 5% trzy razy od tej samej podstawy 1000 zł, co dałoby tylko 1150 zł.