Potęgi i pierwiastki

Potęga o wykładniku naturalnym to skrócony zapis wielokrotnego mnożenia tej samej liczby przez siebie. Zapis a^n, gdzie n jest liczbą naturalną większą od zera, oznacza iloczyn n czynników równych a, czyli a · a · a · ... · a, n razy. Liczbę a nazywamy podstawą potęgi, a liczbę n wykładnikiem. Przykładowo 2⁴ = 2 · 2 · 2 · 2 = 16. Dla wykładnika równego 1 potęga jest równa samej podstawie, więc a¹ = a. Szczególnym przypadkiem jest podstawa równa zero: zero podniesione do dowolnej dodatniej potęgi naturalnej wynosi zero, bo mnożymy same zera. Warto też pamiętać o znaku wyniku: potęga liczby ujemnej o wykładniku parzystym jest dodatnia, a potęga liczby ujemnej o wykładniku nieparzystym jest ujemna, ponieważ przy parzystej liczbie czynników ujemnych minusy znoszą się parami.

Definicję potęgi rozszerzamy na wykładniki całkowite, czyli zero i liczby ujemne, żeby prawa działań na potęgach działały bez wyjątków również poza wykładnikami naturalnymi dodatnimi. Dla dowolnej liczby a różnej od zera przyjmujemy, że a⁰ = 1. Wyrażenie 0⁰ nie jest określone i nie przypisujemy mu żadnej wartości. Dla wykładnika ujemnego przyjmujemy, że a^(-n) = 1/a^n, przy założeniu że a jest różne od zera. Ujemny wykładnik oznacza więc, że liczbę odwracamy i zamieniamy wykładnik na przeciwny, dodatni. Przykładowo 2⁻³ = 1/2³ = 1/8. To rozszerzenie definicji nie jest przypadkowe: zostało tak dobrane, żeby wszystkie znane prawa działań na potęgach, na przykład mnożenie potęg o tej samej podstawie, dalej działały poprawnie.

Gdy mnożymy dwie potęgi o tej samej podstawie, wykładniki dodajemy, a podstawę zostawiamy bez zmian. Wynika to wprost z definicji potęgi jako wielokrotnego mnożenia: jeśli a^m to m czynników a, a a^n to n czynników a, to ich iloczyn ma łącznie m + n czynników a. Na przykład 2³ · 2⁵ = 2⁸. Analogicznie, gdy dzielimy dwie potęgi o tej samej podstawie różnej od zera, wykładniki odejmujemy: a^m : a^n = a^(m-n). Przykładowo 5⁷ : 5² = 5⁵. Te dwa prawa działają wyłącznie wtedy, gdy podstawy są identyczne. Nie wolno ich stosować do potęg o różnych podstawach, ponieważ 2³ · 3³ nie upraszcza się przez dodanie wykładników, bo podstawy 2 i 3 są różne.

Gdy potęgę podnosimy do kolejnej potęgi, wykładniki mnożymy. Wyrażenie (a^m)^n jest równe a^(m·n). Wynika to stąd, że potęgowanie zewnętrzne oznacza n-krotne powtórzenie mnożenia wyrażenia a^m przez siebie, co w sumie daje m razy n czynników a. Na przykład (2³)² = 2⁶ = 64. Osobne prawo dotyczy potęgowania iloczynu i ilorazu: potęga iloczynu dwóch liczb jest równa iloczynowi ich potęg o tym samym wykładniku, a potęga ilorazu jest równa ilorazowi potęg o tym samym wykładniku, o ile dzielnik jest różny od zera. Dzięki temu (2 · 3)⁴ można policzyć jako 2⁴ · 3⁴, co bywa wygodniejsze rachunkowo niż wcześniejsze mnożenie liczb w nawiasie.

Pierwiastkiem stopnia n z liczby a nazywamy taką liczbę b, że b podniesione do potęgi n daje a. Dla stopnia parzystego, na przykład pierwiastka kwadratowego, taka liczba b istnieje tylko wtedy, gdy a jest nieujemne, ponieważ żadna liczba rzeczywista podniesiona do potęgi parzystej nie daje wyniku ujemnego. Mówimy wtedy o pierwiastku arytmetycznym: z definicji wybieramy zawsze wynik nieujemny, dlatego √25 to tylko 5, a nie ±5, mimo że również (−5)² = 25. Najczęściej spotykamy pierwiastek kwadratowy, czyli stopnia 2, który zwyczajowo zapisujemy bez podawania stopnia. Pierwiastek sześcienny, czyli stopnia 3, zachowuje się inaczej: jest określony dla wszystkich liczb rzeczywistych, również ujemnych, bo liczba ujemna podniesiona do potęgi trzeciej daje wynik ujemny. Pierwiastek ∛(−8) wynosi −2. Ogólnie, pierwiastek stopnia nieparzystego jest określony dla każdej liczby rzeczywistej, dodatniej, ujemnej i zera, natomiast pierwiastek stopnia parzystego, tak jak pierwiastek kwadratowy, jest określony wyłącznie dla liczb nieujemnych i wtedy właśnie mówimy o pierwiastku arytmetycznym.

Potęgę o wykładniku wymiernym definiujemy za pomocą pierwiastka, co pozwala połączyć potęgowanie i pierwiastkowanie w jeden spójny zapis. Dla liczby a większej od zera oraz liczb całkowitych m i n, gdzie n jest dodatnie, przyjmujemy, że a^(m/n) jest równe pierwiastkowi stopnia n z a^m, czyli ⁿ√(a^m). Wykładnik 1/n oznacza więc po prostu ⁿ√a. Na przykład 8^(1/3) = ∛8 = 2. Podobnie 4^(3/2) = √(4³) = √64 = 8. Dzięki tej definicji wszystkie prawa działań na potęgach, poznane wcześniej dla wykładników całkowitych, przenoszą się również na wykładniki wymierne, co znacznie ułatwia przekształcanie wyrażeń zawierających jednocześnie potęgi i pierwiastki.

Pierwiastki tego samego stopnia można mnożyć i dzielić, łącząc liczby pod wspólnym znakiem pierwiastka. Pierwiastek stopnia n z iloczynu dwóch liczb nieujemnych jest równy iloczynowi pierwiastków stopnia n z każdej z nich, a pierwiastek stopnia n z ilorazu jest równy ilorazowi pierwiastków, o ile dzielnik jest różny od zera. Te własności działają też w drugą stronę i pozwalają wyłączać czynnik przed znak pierwiastka. Aby wyłączyć czynnik przed pierwiastek kwadratowy, rozkładamy liczbę pod pierwiastkiem na iloczyn, w którym jeden z czynników jest kwadratem liczby całkowitej. √50 zapisujemy jako √(25 · 2), co daje √25 · √2, czyli 5√2. Ważne jest, że pierwiastka sumy nie da się rozbić na sumę pierwiastków: √(9 + 16) wynosi √25, czyli 5, a nie √9 + √16, co dałoby 7.

Gdy w mianowniku ułamka znajduje się pierwiastek, zwyczajowo przekształcamy taki ułamek tak, aby mianownik stał się liczbą wymierną. Ten zabieg nazywamy usuwaniem niewymierności z mianownika. W najprostszym przypadku, gdy w mianowniku stoi sam √a, mnożymy licznik i mianownik przez √a. Ponieważ √a · √a = a, w mianowniku znika pierwiastek, a wartość całego ułamka się nie zmienia, bo mnożymy przez ułamek równy 1. Ułamek 1/√2 po pomnożeniu licznika i mianownika przez √2 daje √2/2. Gdy w mianowniku występuje suma lub różnica z pierwiastkiem, na przykład a + √b, mnożymy licznik i mianownik przez wyrażenie sprzężone, czyli a − √b. Dzięki wzorowi na różnicę kwadratów mianownik przestaje zawierać pierwiastek, ponieważ iloczyn wyrażenia i jego sprzężenia daje różnicę kwadratów tych dwóch składników.