Podobieństwo figur

Dwie figury są podobne, gdy mają dokładnie ten sam kształt, czyli wszystkie odpowiadające sobie kąty są równe, a długości odpowiadających sobie boków pozostają w tej samej stałej proporcji. Tę stałą proporcję nazywamy skalą podobieństwa i oznaczamy zwykle literą k. Skalę wyznaczamy, dzieląc długość boku jednej figury przez długość odpowiadającego mu boku drugiej figury. Gdy skala wynosi jeden, figury są przystające, czyli identyczne pod względem rozmiaru. Gdy skala jest większa od jednego, druga figura jest powiększeniem pierwszej, a gdy jest mniejsza od jednego, jest jej pomniejszeniem. Przykładem figur podobnych są dwie mapy tego samego terenu narysowane w różnej skali albo dwa zdjęcia tego samego obiektu wydrukowane w różnych rozmiarach.

Najprostszym sposobem sprawdzenia, czy dwa trójkąty są podobne, jest porównanie ich kątów. Cecha kąt kąt mówi, że jeśli dwa kąty jednego trójkąta są odpowiednio równe dwóm kątom drugiego trójkąta, to trójkąty te są podobne. Wystarczą dwa kąty, ponieważ trzeci kąt w każdym trójkącie jest jednoznacznie wyznaczony przez pozostałe dwa, gdyż suma kątów w trójkącie zawsze wynosi 180 stopni. Ta cecha jest szczególnie użyteczna, gdy w zadaniu występują trójkąty utworzone przez proste równoległe, ponieważ wtedy naturalnie pojawiają się równe kąty odpowiadające lub naprzemianległe. Sprawdzenie samych kątów jest zwykle najszybszą drogą do wykazania podobieństwa, bez konieczności liczenia długości boków.

Cecha bok bok bok mówi, że dwa trójkąty są podobne, gdy stosunki długości wszystkich trzech par odpowiadających sobie boków są sobie równe. Innymi słowy, jeśli podzielimy długość każdego boku pierwszego trójkąta przez długość odpowiadającego mu boku drugiego trójkąta, za każdym razem otrzymamy tę samą liczbę, czyli skalę podobieństwa. Trzeba przy tym zachować właściwą odpowiedniość boków, czyli porównywać boki leżące naprzeciw równych kątów, a nie boki dobrane przypadkowo. Ta cecha jest przydatna, gdy znamy długości wszystkich boków obu trójkątów, ale nie mamy informacji o ich kątach, na przykład gdy dane pochodzą z pomiaru terenu.

Cecha bok kąt bok mówi, że dwa trójkąty są podobne, gdy stosunek długości dwóch boków jednego trójkąta jest równy stosunkowi długości dwóch odpowiadających im boków drugiego trójkąta, a kąty zawarte między tymi bokami są równe. Ta cecha łączy w sobie informację o proporcjach boków i o kącie, dzięki czemu do stwierdzenia podobieństwa wystarczą tylko trzy elementy zamiast sprawdzania wszystkich sześciu. Warto zwrócić uwagę, że sprawdzany kąt musi leżeć dokładnie między tymi dwoma bokami, a nie przy jednym z nich, ponieważ w przeciwnym razie sama równość dwóch boków i jednego kąta nie gwarantuje podobieństwa trójkątów.

Jeśli dwie figury są podobne w skali k, to stosunek ich obwodów jest równy dokładnie tej samej skali k. Wynika to wprost z definicji podobieństwa: skoro każdy bok jednej figury jest k razy dłuższy od odpowiadającego mu boku drugiej figury, to suma wszystkich boków, czyli obwód, również jest k razy większa. Ta zależność jest liniowa, co oznacza, że obwód rośnie w takim samym tempie jak pojedyncze długości boków. Jeśli na przykład skala podobieństwa dwóch trójkątów wynosi 3, a obwód mniejszego trójkąta wynosi 12 centymetrów, to obwód większego trójkąta wynosi 36 centymetrów.

Stosunek pól dwóch figur podobnych nie jest równy skali podobieństwa, tylko jej kwadratowi. Wynika to stąd, że pole jest iloczynem dwóch wymiarów liniowych, na przykład podstawy i wysokości, a każdy z tych wymiarów zmienia się w skali k, więc całe pole zmienia się w skali k · k = k². Jeśli skala podobieństwa dwóch figur wynosi 2, a mniejsza figura ma pole 5 centymetrów kwadratowych, to większa figura ma pole 5 · 2² = 20 centymetrów kwadratowych, czyli różnią się czterokrotnie, a nie dwukrotnie. Ta zależność jest jednym z najczęściej mylonych elementów tego działu, dlatego warto zawsze pamiętać, że przy przechodzeniu od długości do pola trzeba podnieść skalę do kwadratu, a przy przechodzeniu od pola do skali trzeba wyciągnąć z tego stosunku pierwiastek kwadratowy.

Podobieństwo trójkątów pozwala obliczać długości, których nie można zmierzyć bezpośrednio, wykorzystując proporcje między znanymi i nieznanymi wielkościami. Klasycznym przykładem jest wyznaczanie wysokości wysokiego obiektu, na przykład drzewa lub słupa, na podstawie długości jego cienia. Jeśli w tym samym momencie zmierzymy długość cienia niewielkiego przedmiotu o znanej wysokości, na przykład tyczki o wysokości 2 metrów rzucającej cień o długości 1 metra, oraz długość cienia drzewa wynoszącą 8 metrów, to trójkąt utworzony przez tyczkę i jej cień jest podobny do trójkąta utworzonego przez drzewo i jego cień, ponieważ promienie słoneczne padają pod tym samym kątem. Skala podobieństwa wynosi wtedy 8 do 1, więc wysokość drzewa wynosi 8 · 2 = 16 metrów.