Planimetria

W każdym trójkącie suma miar jego trzech kątów wewnętrznych wynosi 180 stopni, niezależnie od kształtu i wielkości trójkąta. Tę własność można uzasadnić, prowadząc przez jeden z wierzchołków prostą równoległą do przeciwległego boku i korzystając z równości kątów naprzemianległych powstałych przy przecięciu dwóch prostych równoległych trzecią prostą. Dla wielokąta wypukłego o n bokach sumę kątów wewnętrznych można wyznaczyć, dzieląc go przekątnymi wychodzącymi z jednego wierzchołka na (n − 2) trójkąty. Ponieważ każdy z tych trójkątów ma sumę kątów równą 180°, suma kątów całego wielokąta wynosi (n − 2) · 180°. Dla czworokąta wypukłego, gdzie n = 4, daje to 360°, co można sprawdzić chociażby na prostokącie, w którym wszystkie cztery kąty są proste.

Twierdzenie Pitagorasa opisuje zależność między długościami boków w trójkącie prostokątnym. Mówi ono, że suma kwadratów długości obu przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej, czyli najdłuższego boku, leżącego naprzeciw kąta prostego. Twierdzenie to pozwala obliczyć długość jednego boku trójkąta prostokątnego, gdy znamy długości dwóch pozostałych. Jeśli przyprostokątne mają długości 3 centymetry i 4 centymetry, to przeciwprostokątna ma długość √(9 + 16) = √25 = 5 centymetrów. Twierdzenie Pitagorasa jest jednym z najczęściej wykorzystywanych narzędzi w geometrii, ponieważ pojawia się nie tylko w zadaniach o trójkątach, ale też przy obliczaniu przekątnej prostokąta, wysokości trójkąta równobocznego czy odległości punktów na płaszczyźnie.

Twierdzenie odwrotne pozwala sprawdzić, czy dany trójkąt jest prostokątny, znając jedynie długości jego trzech boków. Jeśli w trójkącie o bokach a, b i c, gdzie c jest bokiem najdłuższym, zachodzi równość a² + b² = c², to trójkąt ten jest prostokątny, a kąt prosty leży naprzeciw boku c. Ta zależność jest przydatna, gdy nie mamy rysunku trójkąta ani informacji o jego kątach, a jedynie same długości boków, na przykład otrzymane z pomiaru. Warto pamiętać, że sprawdzenie należy zawsze zaczynać od wskazania najdłuższego boku, ponieważ to jego kwadrat musi się znaleźć po jednej stronie równania, a kwadraty dwóch pozostałych boków po drugiej stronie.

Pole trójkąta liczymy jako połowę iloczynu długości dowolnego boku, traktowanego jako podstawa, i wysokości opuszczonej na ten bok. Wysokość to odcinek prostopadły do podstawy, poprowadzony z przeciwległego wierzchołka. Dla tego samego trójkąta można wybrać dowolny z trzech boków jako podstawę, otrzymując za każdym razem to samo pole, choć wartości podstawy i odpowiadającej jej wysokości będą różne. Obwód trójkąta to po prostu suma długości wszystkich trzech boków. Jeśli trójkąt ma podstawę o długości 8 centymetrów i wysokość opuszczoną na tę podstawę równą 5 centymetrów, to jego pole wynosi 1/2 · 8 · 5 = 20 centymetrów kwadratowych. Warto zwrócić uwagę, że wysokość nie zawsze pokrywa się z bokiem trójkąta, zwłaszcza w trójkątach rozwartokątnych, gdzie spodek wysokości może leżeć poza samym bokiem.

Prostokąt to czworokąt, w którym wszystkie kąty są proste, a boki przeciwległe są równe i równoległe. Jego pole liczymy jako iloczyn długości dwóch sąsiednich boków, czyli długości i szerokości, a obwód jako sumę wszystkich czterech boków, co można też zapisać jako podwojoną sumę długości i szerokości. Kwadrat jest szczególnym przypadkiem prostokąta, w którym wszystkie boki mają jednakową długość. Jego pole to długość boku podniesiona do kwadratu, a obwód to poczwórna długość boku. Jeśli prostokąt ma boki 6 i 4 centymetry, jego pole wynosi 24 centymetry kwadratowe, a obwód 20 centymetrów. Warto pamiętać, że pole zawsze wyraża się w jednostkach kwadratowych, a obwód w tych samych jednostkach co długość boków, ponieważ obwód jest sumą długości, a nie iloczynem.

Równoległobok to czworokąt, w którym przeciwległe boki są parami równoległe i mają jednakową długość, ale w odróżnieniu od prostokąta jego kąty nie muszą być proste. Pole równoległoboku liczymy jako iloczyn długości podstawy i wysokości opuszczonej na tę podstawę, czyli odcinka prostopadłego łączącego podstawę z prostą zawierającą przeciwległy bok. Obwód to suma długości wszystkich czterech boków, czyli podwojona suma dwóch sąsiednich boków. Jeśli podstawa równoległoboku ma długość 7 centymetrów, a wysokość opuszczona na tę podstawę wynosi 3 centymetry, to jego pole wynosi 7 · 3 = 21 centymetrów kwadratowych. Warto pamiętać, że prostokąt, romb i kwadrat są szczególnymi przypadkami równoległoboku, więc znajomość ogólnego wzoru na jego pole pomaga zrozumieć, skąd biorą się wzory na pola tych bardziej szczególnych figur.

Romb to czworokąt, w którym wszystkie cztery boki mają jednakową długość, ale kąty nie muszą być proste. Przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym i dzielą się w tym punkcie na połowy. Pole rombu można policzyć na dwa sposoby: jako połowę iloczynu długości obu przekątnych albo jako iloczyn długości boku i wysokości opuszczonej na ten bok, tak jak w przypadku równoległoboku. Obwód rombu to poczwórna długość boku, ponieważ wszystkie boki są sobie równe. Jeśli przekątne rombu mają długości 6 i 8 centymetrów, jego pole wynosi 1/2 · 6 · 8 = 24 centymetry kwadratowe. Warto odróżniać romb od kwadratu: kwadrat jest rombem, w którym dodatkowo wszystkie kąty są proste, ale nie każdy romb jest kwadratem.

Trapez to czworokąt, w którym co najmniej jedna para boków jest równoległa. Te równoległe boki nazywamy podstawami trapezu, zwykle krótszą i dłuższą, a odległość między nimi, mierzoną prostopadle, nazywamy wysokością trapezu. Pole trapezu liczymy jako średnią arytmetyczną długości obu podstaw pomnożoną przez wysokość, czyli sumę podstaw podzieloną przez dwa i pomnożoną przez wysokość. Obwód to suma długości wszystkich czterech boków, zarówno podstaw, jak i ramion. Jeśli podstawy trapezu mają długości 10 i 6 centymetrów, a jego wysokość wynosi 4 centymetry, to pole wynosi (10 + 6)/2 · 4 = 32 centymetry kwadratowe. Warto pamiętać, że w tym wzorze liczy się wyłącznie obie podstawy i wysokość, a długości ramion trapezu nie wpływają bezpośrednio na wynik.

Dwa trójkąty są przystające, gdy mają dokładnie takie same kształty i rozmiary, czyli można je na siebie nałożyć tak, aby się pokryły. Żeby stwierdzić przystawanie dwóch trójkątów, nie trzeba sprawdzać wszystkich sześciu elementów, wystarczą trzy odpowiednio dobrane. Cecha bok bok bok mówi, że trójkąty są przystające, gdy wszystkie trzy pary odpowiednich boków są równej długości. Cecha bok kąt bok mówi, że wystarczą dwa boki i kąt zawarty między nimi. Cecha kąt bok kąt mówi, że wystarczą dwa kąty i bok leżący między nimi. Te trzy cechy są podstawowym narzędziem do dowodzenia własności figur geometrycznych, ponieważ pozwalają wykazać równość odpowiednich boków lub kątów w dwóch trójkątach bez konieczności ich bezpośredniego pomiaru.