Okręgi i koła

Okrąg to zbiór wszystkich punktów płaszczyzny leżących w tej samej odległości od ustalonego punktu, zwanego środkiem okręgu. Tę stałą odległość nazywamy promieniem i oznaczamy literą r. Koło natomiast to figura złożona z okręgu oraz wszystkich punktów leżących wewnątrz niego, czyli w odległości od środka nie większej niż promień. Średnica to odcinek łączący dwa punkty okręgu i przechodzący przez jego środek, a jej długość jest zawsze dwa razy większa od długości promienia. Średnica jest jednocześnie najdłuższą możliwą cięciwą w danym okręgu. Warto odróżniać okrąg od koła, ponieważ okrąg jest tylko brzegiem, czyli krzywą, a koło jest pełną figurą wraz z wnętrzem, co ma znaczenie na przykład przy liczeniu pola.

Cięciwa to odcinek łączący dowolne dwa punkty leżące na okręgu. Prosta zawierająca cięciwę, jeśli przedłużymy ją w obie strony, przecina okrąg dokładnie w dwóch punktach i nazywamy ją sieczną. Styczna to prosta, która ma z okręgiem dokładnie jeden punkt wspólny, zwany punktem styczności. Kluczową własnością stycznej jest to, że w punkcie styczności jest ona zawsze prostopadła do promienia poprowadzonego do tego punktu. Ta własność jest bardzo przydatna w zadaniach, w których trzeba wykazać prostopadłość dwóch odcinków albo skonstruować styczną do okręgu. Cięciwa, sieczna i styczna różnią się więc liczbą punktów wspólnych z okręgiem: cięciwa i sieczna mają ich dwa, a styczna dokładnie jeden.

Prosta na płaszczyźnie może względem danego okręgu znajdować się w jednej z trzech sytuacji, zależnie od odległości środka okręgu od tej prostej. Gdy odległość środka od prostej jest mniejsza od promienia, prosta przecina okrąg w dwóch punktach i nazywamy ją sieczną. Gdy odległość środka od prostej jest dokładnie równa promieniowi, prosta ma z okręgiem tylko jeden punkt wspólny i jest styczna do okręgu. Gdy odległość środka od prostej jest większa od promienia, prosta w ogóle nie ma punktów wspólnych z okręgiem. Ten podział pozwala szybko określić, jak dana prosta zachowuje się względem okręgu, wystarczy porównać odległość środka od prostej z długością promienia.

Kąt środkowy to kąt, którego wierzchołek znajduje się w środku okręgu, a ramiona są promieniami poprowadzonymi do dwóch punktów tego okręgu. Kąt środkowy wyznacza na okręgu łuk, czyli fragment okręgu zawarty między tymi dwoma punktami, a miara kąta środkowego jest równa mierze łuku, na którym jest on oparty. Gdy kąt środkowy wynosi 360 stopni, obejmuje on cały okrąg. Kąt środkowy jest punktem wyjścia do opisania kąta wpisanego, ponieważ oba te kąty można oprzeć na tym samym łuku, co pozwala porównać ich miary. Znajomość kąta środkowego pozwala też obliczyć długość odpowiadającego mu łuku oraz pole odpowiadającego mu wycinka koła, traktując pełny kąt 360 stopni jako całość.

Kąt wpisany to kąt, którego wierzchołek leży na okręgu, a ramiona zawierają dwie cięciwy tego okręgu. Kąt wpisany, podobnie jak kąt środkowy, może być oparty na tym samym łuku. Zależność między nimi jest prosta: miara kąta wpisanego jest zawsze równa połowie miary kąta środkowego opartego na tym samym łuku. Wynika stąd też, że wszystkie kąty wpisane oparte na tym samym łuku mają jednakową miarę, niezależnie od tego, w którym punkcie okręgu leży ich wierzchołek. Jeśli na przykład kąt środkowy oparty na pewnym łuku wynosi 80 stopni, to każdy kąt wpisany oparty na tym samym łuku wynosi dokładnie 40 stopni.

Szczególnym przypadkiem zależności między kątem wpisanym a środkowym jest sytuacja, gdy cięciwa, na której oparte są te kąty, jest średnicą okręgu. Kąt środkowy oparty na średnicy wynosi 180 stopni, ponieważ średnica dzieli okrąg na dwa łuki, z których każdy odpowiada kątowi półpełnemu. Skoro kąt wpisany jest zawsze połową kąta środkowego opartego na tym samym łuku, to każdy kąt wpisany oparty na średnicy musi wynosić dokładnie 90 stopni. Oznacza to, że jeśli w trójkącie wpisanym w okrąg jeden bok jest średnicą tego okręgu, to trójkąt ten jest prostokątny, a kąt prosty leży naprzeciw tej średnicy. Ta własność jest często wykorzystywana do szybkiego rozpoznawania trójkątów prostokątnych wpisanych w okrąg.

Długość okręgu to obwód tej krzywej, czyli droga, jaką trzeba przebyć, żeby okrążyć go dokładnie raz. Długość okręgu jest proporcjonalna do jego promienia, a stałą proporcjonalności jest liczba pi pomnożona przez dwa. Liczba pi to stała matematyczna, w przybliżeniu równa 3,14, wyrażająca stosunek długości okręgu do długości jego średnicy, i ten stosunek jest taki sam dla każdego okręgu, niezależnie od jego wielkości. Jeśli promień okręgu wynosi 5 centymetrów, jego długość wynosi 2 · π · 5 = 10π centymetrów, czyli około 31,4 centymetra. Długość okręgu warto odróżniać od pola koła, ponieważ długość jest miarą jednowymiarową wyrażoną w centymetrach, a pole jest miarą dwuwymiarową wyrażoną w centymetrach kwadratowych.

Pole koła obliczamy, mnożąc liczbę pi przez kwadrat długości promienia. Wzór ten wynika z bardziej zaawansowanych rozważań, ale na poziomie podstawowym wystarczy go znać i umieć stosować. Jeśli promień koła wynosi 4 centymetry, jego pole wynosi π · 4² = 16π centymetrów kwadratowych, czyli około 50,24 centymetra kwadratowego. Gdy w zadaniu podana jest średnica zamiast promienia, trzeba pamiętać, żeby najpierw podzielić ją przez dwa, zanim podstawimy wartość do wzoru na pole. Pole koła rośnie znacznie szybciej niż jego promień, ponieważ zależy od promienia podniesionego do kwadratu: podwojenie promienia powoduje aż czterokrotny wzrost pola.