Logarytmy

Logarytm o podstawie a z liczby b, zapisywany jako log_a b, to liczba, do której trzeba podnieść podstawę a, żeby otrzymać liczbę b. Definicja ta ma sens tylko przy pewnych założeniach: podstawa a musi być liczbą dodatnią różną od 1, a liczba logarytmowana b musi być dodatnia. Gdyby podstawa mogła być ujemna albo równa zero lub jeden, potęgowanie nie dawałoby jednoznacznego ani sensownego wyniku dla wszystkich wykładników. log₂8 = 3, ponieważ 2³ = 8. log₅25 = 2, ponieważ 5² = 25. Warto zapamiętać, że logarytm z liczby ujemnej albo z zera nie istnieje w zbiorze liczb rzeczywistych, bo żadna dodatnia podstawa podniesiona do jakiejkolwiek potęgi nie da wyniku ujemnego ani zera.

Logarytmowanie i potęgowanie są działaniami wzajemnie odwrotnymi, podobnie jak dodawanie i odejmowanie albo mnożenie i dzielenie. Jeśli a^x = b, to log_a b = x, i na odwrót. Ta zależność pozwala zamieniać równania wykładnicze na logarytmiczne i odwrotnie, co bywa przydatne przy rozwiązywaniu prostych równań, w których niewiadoma znajduje się w wykładniku. Bezpośrednią konsekwencją tej odwrotności są dwie tożsamości, z których korzysta się bardzo często: a^(log_a b) = b oraz log_a(a^x) = x. Obie tożsamości mówią po prostu, że logarytmowanie cofa potęgowanie, a potęgowanie cofa logarytmowanie, o ile podstawy się zgadzają.

Zanim przejdziemy do praw działań na logarytmach, warto zapamiętać dwie wartości, które pojawiają się niezależnie od wybranej podstawy. log_a 1 zawsze wynosi zero, ponieważ dowolna liczba dodatnia różna od 1 podniesiona do potęgi zerowej daje 1. log_a a zawsze wynosi 1, ponieważ a¹ = a. Te dwie własności są szczególnymi przypadkami ogólnej definicji logarytmu, ale warto je znać na pamięć, bo pojawiają się bardzo często przy upraszczaniu wyrażeń. log₇1 = 0, a log₇7 = 1, niezależnie od tego, jak skomplikowana jest reszta wyrażenia, w którym te logarytmy występują.

Logarytm iloczynu dwóch liczb dodatnich jest równy sumie logarytmów tych liczb, przy tej samej podstawie. Ta własność wynika bezpośrednio z prawa dodawania wykładników przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie: skoro mnożenie potęg odpowiada dodawaniu wykładników, to logarytm, który wyciąga wykładnik, zamienia mnożenie liczb na dodawanie logarytmów. log₂(4 · 8) można policzyć jako log₂4 + log₂8 = 2 + 3 = 5. Rzeczywiście, log₂32 = 5, bo 2⁵ = 32, a 4 · 8 = 32. Prawo to działa wyłącznie dla liczb dodatnich, bo logarytm z liczby ujemnej czy z zera w ogóle nie istnieje.

Logarytm ilorazu dwóch liczb dodatnich jest równy różnicy logarytmów licznika i mianownika, przy tej samej podstawie. Podobnie jak w przypadku iloczynu, własność ta wynika z prawa odejmowania wykładników przy dzieleniu potęg o tej samej podstawie. Logarytm licznika minus logarytm mianownika daje logarytm całego ilorazu. log₃(81/9) można policzyć jako log₃81 − log₃9 = 4 − 2 = 2. Sprawdzając bezpośrednio, 81/9 = 9, a log₃9 rzeczywiście wynosi 2. Trzeba pamiętać, że to prawo, podobnie jak prawo logarytmu iloczynu, dotyczy tylko liczb dodatnich, więc przed jego zastosowaniem warto upewnić się, że zarówno licznik, jak i mianownik są dodatnie.

Logarytm potęgi liczby dodatniej jest równy iloczynowi wykładnika i logarytmu podstawy tej potęgi, czyli wykładnik można wyciągnąć przed logarytm jako mnożnik. Ta własność jest naturalnym rozszerzeniem prawa logarytmu iloczynu, bo potęga o wykładniku naturalnym to powtórzone mnożenie tej samej liczby, więc logarytm takiej potęgi to suma tylu samo logarytmów tej liczby, co po prostu daje iloczyn wykładnika i pojedynczego logarytmu. log₂(8⁵) możemy policzyć jako 5 · log₂8 = 5 · 3 = 15, zamiast najpierw podnosić 8 do piątej potęgi i dopiero potem logarytmować dużą liczbę. Prawo to działa dla dowolnego wykładnika rzeczywistego, pod warunkiem że podstawa potęgi wewnątrz logarytmu jest liczbą dodatnią, i jest jednym z najczęściej wykorzystywanych narzędzi do upraszczania wyrażeń logarytmicznych.

Czasem wygodniej jest policzyć logarytm przy innej podstawie niż ta, która pierwotnie występuje w zadaniu, na przykład gdy kalkulator liczy tylko logarytmy dziesiętne lub naturalne. Wzór na zamianę podstawy pozwala zapisać log_a b jako iloraz dwóch logarytmów przy dowolnej wspólnej, nowej podstawie c: log_c b / log_c a. Nowa podstawa c musi spełniać te same warunki co każda podstawa logarytmu, czyli być dodatnia i różna od 1. log₄8 można policzyć, zamieniając podstawę na 2: log₂8 / log₂4 = 3 / 2 = 1,5. Wzór ten jest też przydatny teoretycznie, bo pokazuje, że wszystkie logarytmy, niezależnie od podstawy, są ze sobą proporcjonalne.

Wśród wszystkich możliwych podstaw logarytmu dwie pojawiają się na tyle często, że mają swoje własne, skrócone oznaczenia. Logarytm przy podstawie 10 nazywamy logarytmem dziesiętnym i zapisujemy go jako log b, bez podawania podstawy, ponieważ podstawa 10 jest tu domyślna. Logarytmy dziesiętne są wygodne, bo dobrze współgrają z naszym dziesiętnym systemem zapisu liczb, na przykład log 1000 = 3, a log 0,01 = −2. Drugą szczególną podstawą jest liczba niewymierna e, w przybliżeniu równa 2,718, nazywana liczbą Eulera. Logarytm przy podstawie e nazywamy logarytmem naturalnym i zapisujemy go jako ln b. Logarytm naturalny odgrywa ważną rolę w dalszych działach matematyki, zwłaszcza tam, gdzie pojawiają się procesy wzrostu lub zmiany zależne od aktualnej wartości, ale na tym etapie wystarczy zapamiętać jego oznaczenie oraz to, że stosują się do niego dokładnie te same własności logarytmów co do logarytmu przy dowolnej innej podstawie.