Liczby rzeczywiste

Liczby naturalne to najprostszy zbiór liczbowy, którym posługujemy się od dziecka do liczenia przedmiotów: 0, 1, 2, 3 i tak dalej. Zbiór liczb naturalnych oznaczamy literą N. Gdy do liczb naturalnych dodamy liczby do nich przeciwne, czyli liczby ujemne takie jak −1, −2, −3, otrzymujemy zbiór liczb całkowitych, oznaczany literą C. Każda liczba naturalna jest jednocześnie liczbą całkowitą, więc N jest podzbiorem zbioru C. Liczby całkowite pozwalają swobodnie odejmować, nawet gdy odjemnik jest większy od odjemnej, czego w zbiorze liczb naturalnych zrobić się nie da. Wynik działania 3 − 7 nie jest liczbą naturalną, ale jest liczbą całkowitą równą −4. Liczby całkowite dodatnie pokrywają się z liczbami naturalnymi dodatnimi, a dodatkowo dochodzi zero oraz wszystkie liczby ujemne.

Liczbę wymierną definiujemy jako liczbę, którą można zapisać w postaci ułamka p/q, gdzie p i q są liczbami całkowitymi, a q jest różne od zera. Zbiór liczb wymiernych oznaczamy literą W, choć w wielu materiałach spotyka się też oznaczenie Q, pochodzące od angielskiego słowa quotient, czyli iloraz. Do liczb wymiernych należą wszystkie liczby całkowite, bo każdą z nich można zapisać jako ułamek z mianownikiem 1, a także ułamki zwykłe i wszystkie skończone lub okresowe rozwinięcia dziesiętne. Liczba 0,333... z nieskończenie powtarzającą się trójką jest liczbą wymierną, ponieważ da się ją zapisać jako ułamek 1/3. Kluczową cechą liczb wymiernych jest to, że ich rozwinięcie dziesiętne jest skończone albo od pewnego miejsca okresowo się powtarza. Ta własność pozwala odróżnić liczby wymierne od liczb niewymiernych już na poziomie samego zapisu dziesiętnego.

Liczba niewymierna to liczba, której nie da się zapisać w postaci ułamka dwóch liczb całkowitych. Jej rozwinięcie dziesiętne jest nieskończone i nigdy się nie powtarza w regularny sposób. Najbardziej znanymi przykładami liczb niewymiernych są √2, liczba π opisująca stosunek obwodu koła do jego średnicy, oraz liczba e używana w matematyce wyższej. Suma zbioru liczb wymiernych i zbioru liczb niewymiernych tworzy zbiór liczb rzeczywistych, oznaczany literą R. Zbiory te są rozłączne, co znaczy, że żadna liczba nie jest jednocześnie wymierna i niewymierna. Zbiór liczb rzeczywistych zawiera więc wszystkie liczby, jakimi posługujemy się w szkolnej matematyce: naturalne, całkowite, wymierne i niewymierne razem. Warto pamiętać, że pierwiastek kwadratowy z liczby, która nie jest kwadratem żadnej liczby wymiernej, zawsze daje liczbę niewymierną, na przykład √2, √3 czy √7. W obliczeniach praktycznych liczby niewymiernej nie da się zapisać dokładnie, dlatego posługujemy się jej przybliżeniem dziesiętnym zaokrąglonym do kilku miejsc po przecinku, na przykład √2 ≈ 1,41 albo π ≈ 3,14. Trzeba jednak pamiętać, że taki zapis to tylko przybliżenie, a nie dokładna wartość liczby.

Oś liczbowa to prosta, na której każdemu punktowi przyporządkowana jest dokładnie jedna liczba rzeczywista, a każdej liczbie rzeczywistej odpowiada dokładnie jeden punkt na tej prostej. Zaznaczamy na niej punkt zero jako początek, a następnie w prawo liczby dodatnie, w lewo liczby ujemne, w równych odstępach zależnych od przyjętej jednostki. Wartość bezwzględna liczby, oznaczana pionowymi kreskami wokół liczby, to jej odległość od zera na osi liczbowej. Ponieważ odległość nigdy nie jest ujemna, wartość bezwzględna dowolnej liczby jest zawsze większa lub równa zero. Dla liczby dodatniej lub zera wartość bezwzględna jest równa samej tej liczbie, a dla liczby ujemnej jest równa liczbie do niej przeciwnej, czyli otrzymujemy ją, zmieniając znak. Wartość bezwzględna |5| wynosi 5, a |−5| również wynosi 5. Wartość bezwzględna różnicy dwóch liczb, |a − b|, opisuje odległość między punktami a i b na osi liczbowej.

Na liczbach rzeczywistych wykonujemy cztery podstawowe działania: dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie, przy czym dzielenie przez zero nigdy nie jest wykonalne i nie ma matematycznego sensu. Dodawanie i mnożenie liczb rzeczywistych są przemienne, co znaczy, że kolejność składników lub czynników nie wpływa na wynik, oraz łączne, co znaczy, że przy trzech i więcej liczbach nie ma znaczenia, które dwie z nich dodamy lub pomnożymy najpierw. Odejmowanie i dzielenie nie mają żadnej z tych własności, dlatego 5 − 3 to nie to samo co 3 − 5. Mnożenie jest rozdzielne względem dodawania, co oznacza, że iloczyn liczby przez sumę można rozbić na sumę dwóch iloczynów. Ta własność jest podstawą wielu przekształceń algebraicznych, w tym mnożenia wyrażeń przez nawiasy i wyłączania wspólnego czynnika przed nawias. Znajomość tych własności pozwala przestawiać i grupować składniki działania w sposób, który ułatwia rachunki, o ile nie zmieniamy przy tym samej struktury wyrażenia.

Gdy w jednym wyrażeniu występuje kilka różnych działań, ich kolejność nie jest dowolna, tylko ściśle ustalona przez przyjęte reguły. Najpierw wykonujemy działania w nawiasach, zaczynając od nawiasów najbardziej wewnętrznych. Następnie liczymy potęgi i pierwiastki, potem mnożenie i dzielenie w kolejności od lewej do prawej, a na końcu dodawanie i odejmowanie, również od lewej do prawej. Jeśli w wyrażeniu występuje tylko mnożenie i dzielenie albo tylko dodawanie i odejmowanie, działania wykonujemy po kolei tak, jak są zapisane, a nie w dowolnej kolejności. W wyrażeniu 2 + 3 · 4 najpierw mnożymy 3 · 4, otrzymując 12, a dopiero potem dodajemy 2, co daje 14. Pominięcie tej kolejności i dodanie najpierw 2 i 3 prowadzi do błędnego wyniku 20. Nawiasy pozwalają celowo zmienić naturalną kolejność działań, dlatego (2 + 3) · 4 daje inny wynik niż wersja bez nawiasu.

Cechy podzielności to reguły, które pozwalają szybko sprawdzić, czy dana liczba całkowita dzieli się przez inną liczbę, bez wykonywania właściwego dzielenia. Liczba dzieli się przez 2, gdy jej ostatnia cyfra jest parzysta, czyli 0, 2, 4, 6 albo 8. Liczba dzieli się przez 5, gdy jej ostatnia cyfra to 0 albo 5. Liczba dzieli się przez 10, gdy kończy się cyfrą 0. Liczba dzieli się przez 3, gdy suma jej cyfr dzieli się przez 3, a dzieli się przez 9, gdy suma jej cyfr dzieli się przez 9. Suma cyfr liczby 4 862 715 wynosi 33, a ponieważ 33 dzieli się przez 3, cała liczba 4 862 715 również dzieli się przez 3. Liczba dzieli się przez 4, gdy jej dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 4. Cechy podzielności są szczególnie przydatne przy rozkładaniu liczb na czynniki pierwsze i przy skracaniu ułamków.