Geometria analityczna

W geometrii analitycznej każdy punkt płaszczyzny opisujemy parą liczb, zwanych jego współrzędnymi, zapisywanych jako x oraz y. Współrzędna x mówi, jak daleko punkt leży od osi pionowej, a współrzędna y, jak daleko leży od osi poziomej. Obie osie przecinają się w punkcie zwanym początkiem układu współrzędnych, w którym obie współrzędne wynoszą zero. Dzięki takiemu opisowi każdą figurę geometryczną, na przykład odcinek, prostą czy okrąg, można opisać za pomocą liczb i równań, a nie tylko rysunku. To pozwala przenieść wiele zadań geometrycznych na grunt algebry, gdzie rozwiązuje się je poprzez przekształcanie równań, a nie poprzez konstrukcje cyrklem i linijką.

Odległość między dwoma punktami o danych współrzędnych liczymy, korzystając z twierdzenia Pitagorasa. Jeśli poprowadzimy od jednego punktu do drugiego odcinek pionowy i poziomy, otrzymamy trójkąt prostokątny, w którym przyprostokątne mają długości równe różnicy współrzędnych x oraz różnicy współrzędnych y obu punktów, a szukana odległość jest przeciwprostokątną tego trójkąta. Dlatego odległość obliczamy jako d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²). Jeśli na przykład punkty mają współrzędne 1 i 2 oraz 4 i 6, to różnica współrzędnych x wynosi 3, a różnica współrzędnych y wynosi 4, więc odległość wynosi √(9 + 16) = √25 = 5.

Środek odcinka łączącego dwa punkty ma współrzędne będące średnią arytmetyczną odpowiednich współrzędnych końców tego odcinka. Współrzędną x środka obliczamy, dodając współrzędne x obu punktów i dzieląc sumę przez dwa, a współrzędną y środka obliczamy analogicznie z współrzędnych y. Wynika to z tego, że środek odcinka leży dokładnie w połowie drogi między jego końcami, zarówno w poziomie, jak i w pionie. Jeśli odcinek ma końce o współrzędnych 2 i 3 oraz 8 i 7, to środek tego odcinka ma współrzędną x równą (2 + 8)/2 = 5 oraz współrzędną y równą (3 + 7)/2 = 5.

Prostą, która nie jest pionowa, można opisać równaniem w postaci kierunkowej y = ax + b. Liczba a nazywana jest współczynnikiem kierunkowym prostej i informuje, jak bardzo prosta jest nachylona względem osi poziomej: im większa wartość bezwzględna a, tym prosta jest bardziej stroma. Dodatnie a oznacza, że prosta rośnie, czyli wartość y zwiększa się wraz ze wzrostem x, a ujemne a oznacza, że prosta opada. Liczba b to wyraz wolny, który wskazuje punkt, w którym prosta przecina oś y, ponieważ dla x = 0 wartość y jest właśnie równa b. Znając współrzędne dwóch punktów leżących na prostej, współczynnik a można obliczyć jako a = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁).

Każdą prostą na płaszczyźnie, także prostą pionową, można zapisać w postaci ogólnej jako Ax + By + C = 0, gdzie A i B nie mogą być jednocześnie równe zero. Ta postać jest bardziej uniwersalna od postaci kierunkowej, ponieważ obejmuje również proste pionowe, których nie da się zapisać jako y = ax + b, gdyż nie mają one określonego współczynnika kierunkowego. Postać ogólną można przekształcić w postać kierunkową, jeśli tylko współczynnik B jest różny od zera, dzieląc obie strony równania odpowiednio i wyliczając y. Ta postać jest też wygodna przy sprawdzaniu, czy dany punkt należy do prostej: wystarczy podstawić jego współrzędne do równania i sprawdzić, czy otrzymamy 0 = 0.

Dwie proste niepionowe są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy mają jednakowe współczynniki kierunkowe. Ma to prosty sens geometryczny: współczynnik kierunkowy opisuje nachylenie prostej względem osi poziomej, więc jeśli dwie proste są nachylone dokładnie tak samo, nigdy się nie przetną, chyba że są tą samą prostą. Żeby sprawdzić, czy dwie proste dane w postaci kierunkowej są równoległe, wystarczy porównać liczby stojące przy x w obu równaniach. Jeśli są sobie równe, a wyrazy wolne są różne, to proste są równoległe i różne, natomiast jeśli również wyrazy wolne są równe, to obie proste opisują dokładnie tę samą prostą.

Dwie proste niepionowe są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy minus jeden. Oznacza to, że współczynniki kierunkowe prostych prostopadłych są swoimi odwrotnościami wziętymi z przeciwnym znakiem: jeśli jedna prosta ma współczynnik kierunkowy równy 2, to prosta do niej prostopadła ma współczynnik kierunkowy równy −1/2. Warunek ten wynika z własności kątów, jakie proste tworzą z osią poziomą, choć na poziomie podstawowym wystarczy zapamiętać go jako gotową zależność i stosować przy sprawdzaniu prostopadłości albo przy wyznaczaniu równania prostej prostopadłej do danej i przechodzącej przez konkretny punkt.

Okrąg o środku w punkcie o współrzędnych a i b oraz promieniu r opisujemy równaniem (x − a)² + (y − b)² = r². Równanie to wynika bezpośrednio ze wzoru na odległość dwóch punktów: każdy punkt okręgu leży w odległości dokładnie r od środka, więc podstawiając tę odległość do wzoru i podnosząc obie strony do kwadratu, otrzymujemy właśnie to równanie. Jeśli środek okręgu ma współrzędne 2 i minus 1, a promień wynosi 3, to równanie okręgu ma postać (x − 2)² + (y + 1)² = 9.