Funkcje i ich własności

Funkcja to przyporządkowanie, w którym każdemu elementowi jednego zbioru, nazywanego dziedziną, odpowiada dokładnie jeden element drugiego zbioru, nazywanego przeciwdziedziną. Kluczowe jest słowo dokładnie jeden: jeśli jednemu elementowi dziedziny odpowiadałyby dwie różne wartości, przyporządkowanie nie byłoby funkcją. Funkcję można zapisać na kilka sposobów: za pomocą wzoru, na przykład y = 2x + 1, za pomocą tabelki wartości, za pomocą grafu strzałkowego łączącego elementy dziedziny z odpowiadającymi im wartościami, albo po prostu opisem słownym. Najczęściej używanym sposobem w szkole jest wzór, ponieważ pozwala policzyć wartość funkcji dla dowolnego argumentu z dziedziny. Argument funkcji zwyczajowo oznaczamy literą x, a wartość funkcji dla tego argumentu literą y albo zapisem f(x).

Dziedzina funkcji to zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja jest określona, czyli dla których potrafimy obliczyć jej wartość. Jeśli funkcja jest dana wzorem, dziedzinę wyznaczamy, sprawdzając, dla jakich x wzór ma sens liczbowy: trzeba wykluczyć argumenty, dla których w mianowniku pojawia się zero, oraz argumenty, dla których pod pierwiastkiem parzystego stopnia znajduje się liczba ujemna. Zbiór wartości funkcji to z kolei zbiór wszystkich liczb, jakie funkcja rzeczywiście przyjmuje dla argumentów z dziedziny. Na przykład dla funkcji danej wzorem y = 1/x dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych bez zera, ponieważ nie można dzielić przez zero, a zbiorem wartości jest również zbiór liczb rzeczywistych bez zera, bo ten iloraz nigdy nie osiąga wartości zero.

Wykresem funkcji nazywamy zbiór wszystkich punktów na płaszczyźnie o współrzędnych (x, f(x)), gdzie x przebiega całą dziedzinę funkcji. Wykres pozwala zobaczyć własności funkcji, których nie zawsze łatwo odczytać wprost ze wzoru. Odczytując wykres, argumenty odkładamy na osi poziomej, a odpowiadające im wartości funkcji na osi pionowej. Ważna zasada, która odróżnia wykres funkcji od dowolnej krzywej na płaszczyźnie, to tak zwany test pionowej prostej: jeśli dowolna prosta pionowa przecina krzywą więcej niż raz, krzywa ta nie jest wykresem żadnej funkcji, bo oznaczałoby to, że jednemu argumentowi odpowiadają dwie różne wartości. Dzięki tej zasadzie łatwo sprawdzić na oko, czy narysowana krzywa może być wykresem funkcji.

Monotoniczność opisuje, jak zachowuje się funkcja wraz ze wzrostem argumentu. Funkcję nazywamy rosnącą w danym przedziale, jeśli dla dowolnych dwóch argumentów z tego przedziału większemu argumentowi odpowiada większa wartość funkcji. Funkcję nazywamy malejącą, jeśli większemu argumentowi odpowiada mniejsza wartość funkcji. Funkcja może być też stała w pewnym przedziale, jeśli wszystkie argumenty z tego przedziału dają tę samą wartość funkcji. Wiele funkcji nie jest monotoniczna na całej swojej dziedzinie, tylko zmienia charakter w różnych przedziałach, na przykład najpierw maleje, a potem rośnie. Wtedy mówimy o przedziałach monotoniczności i podajemy osobno, w jakim przedziale funkcja rośnie, a w jakim maleje. Odczytywanie monotoniczności z wykresu polega na obserwacji, czy krzywa idzie w górę, w dół, czy pozostaje na tej samej wysokości, patrząc od lewej do prawej.

Miejscem zerowym funkcji nazywamy taki argument x, dla którego wartość funkcji wynosi zero. Wyznaczenie miejsc zerowych sprowadza się do rozwiązania równania, w którym wzór funkcji przyrównujemy do zera. Funkcja może mieć jedno miejsce zerowe, kilka miejsc zerowych, albo nie mieć ich wcale, jeśli jej wykres nigdy nie przecina osi poziomej. Na wykresie miejsca zerowe to dokładnie te punkty, w których krzywa przecina lub dotyka osi x. Znajomość miejsc zerowych jest przydatna nie tylko do szkicowania wykresu, ale też do rozwiązywania nierówności, ponieważ miejsca zerowe dzielą dziedzinę na przedziały, w których funkcja ma stały znak, czyli jest cały czas dodatnia albo cały czas ujemna.

Wartością największą funkcji w danym zbiorze nazywamy taką wartość, której żadna inna wartość funkcji w tym zbiorze nie przewyższa, a która jednocześnie jest rzeczywiście osiągana dla pewnego argumentu. Analogicznie wartością najmniejszą jest wartość, od której żadna inna wartość funkcji nie jest mniejsza i która jest osiągana. Nie każda funkcja ma wartość największą lub najmniejszą: jeśli wykres funkcji rozciąga się w nieskończoność w górę, funkcja nie ma wartości największej. Odczytując te wartości z wykresu, szukamy najwyższego oraz najniższego punktu krzywej i sprawdzamy ich współrzędną pionową. Warto pamiętać, że wartość największa i najmniejsza to konkretna liczba, natomiast argument, dla którego funkcja tę wartość osiąga, to zupełnie inna informacja, którą trzeba podawać osobno.

Funkcję nazywamy różnowartościową, jeśli różnym argumentom zawsze odpowiadają różne wartości funkcji, czyli nie zdarza się, aby dwa różne argumenty dawały tę samą wartość. Na wykresie różnowartościowość sprawdzamy testem poziomej prostej: jeśli dowolna prosta pozioma przecina wykres co najwyżej raz, funkcja jest różnowartościowa. Przykładem funkcji różnowartościowej jest funkcja liniowa o współczynniku kierunkowym różnym od zera, ponieważ jej wykres, czyli prosta ukośna, nigdy nie jest przecinany przez poziomą prostą więcej niż raz. Przykładem funkcji, która nie jest różnowartościowa, jest funkcja przyporządkowująca liczbie jej kwadrat, bo zarówno liczba 2, jak i liczba −2, dają tę samą wartość funkcji równą 4. Różnowartościowość jest ważna, bo tylko dla funkcji różnowartościowych można jednoznacznie odtworzyć argument na podstawie wartości.

Funkcję nazywamy parzystą, jeśli jej dziedzina jest symetryczna względem zera i dla każdego argumentu x wartość funkcji dla argumentu przeciwnego, czyli −x, jest taka sama jak dla x. Wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi pionowej, co widać na przykład na wykresie funkcji przyporządkowującej liczbie jej kwadrat. Funkcję nazywamy nieparzystą, jeśli dla każdego argumentu x wartość funkcji dla argumentu przeciwnego jest liczbą przeciwną do wartości dla x. Wykres funkcji nieparzystej jest symetryczny względem początku układu współrzędnych, tak jak wykres funkcji przyporządkowującej liczbie jej sześcian. Większość funkcji nie jest ani parzysta, ani nieparzysta, dlatego zanim zaczniemy sprawdzać parzystość, warto najpierw upewnić się, że dziedzina funkcji jest symetryczna względem zera, bo bez tego warunku funkcja z definicji nie może być ani parzysta, ani nieparzysta.