Funkcja wymierna

Funkcją wymierną w najprostszej postaci nazywamy funkcję określoną wzorem f(x) = a/x, gdzie a jest ustaloną liczbą różną od zera. Liczbę a nazywamy współczynnikiem funkcji. Zmienna x występuje w mianowniku, co odróżnia tę funkcję od funkcji liniowej czy kwadratowej, w których zmienna pojawia się w liczniku. Jeśli a = 6, to dla x = 2 wartość funkcji wynosi 3, a dla x = 3 wartość wynosi 2. Im większa co do wartości bezwzględnej liczba x, tym mniejsza co do wartości bezwzględnej wartość funkcji, i odwrotnie, im x bliżej zera, tym wartość funkcji rośnie co do modułu. Ta zależność jest sercem wszystkich własności funkcji wymiernej postaci a/x.

Ponieważ zmienna x znajduje się w mianowniku, funkcja a/x nie jest określona dla x = 0, bo dzielenie przez zero nie ma sensu. Dziedziną tej funkcji jest więc zbiór wszystkich liczb rzeczywistych z wyłączeniem zera. Zapisujemy to jako D = ℝ \ {0}. Wyznaczanie dziedziny to zawsze pierwszy krok przy pracy z funkcją wymierną, także w postaci przesuniętej, gdzie z mianownika trzeba wykluczyć taką wartość x, dla której mianownik się zeruje. Pamiętanie o dziedzinie jest istotne, ponieważ wpływa na kształt wykresu, czyli na to, że składa się on z dwóch oddzielnych gałęzi, oraz na to, jakie równania z funkcją wymierną mają sens.

Wykresem funkcji f(x) = a/x jest krzywa nazywana hiperbolą. Składa się ona z dwóch oddzielnych gałęzi, które nie stykają się ze sobą ani z osiami układu współrzędnych. Gdy współczynnik a jest dodatni, gałęzie leżą w pierwszej i trzeciej ćwiartce układu współrzędnych. Gdy a jest ujemny, gałęzie leżą w drugiej i czwartej ćwiartce. Wykres jest symetryczny względem początku układu współrzędnych, co oznacza, że dla punktu (x, y) należącego do wykresu, punkt (−x, −y) również do niego należy. Ta symetria wynika wprost ze wzoru, ponieważ podstawienie −x w miejsce x daje wartość przeciwną do f(x).

Asymptota to prosta, do której wykres funkcji zbliża się coraz bardziej, nigdy jej nie przecinając. Dla podstawowej funkcji wymiernej a/x asymptotą pionową jest oś y, czyli prosta x = 0, ponieważ to właśnie tam funkcja nie jest określona, a jej wartości rosną lub maleją nieograniczenie przy zbliżaniu się x do zera. Asymptotą poziomą jest oś x, czyli prosta y = 0, ponieważ gdy x rośnie lub maleje nieograniczenie, wartość a/x zbliża się coraz bardziej do zera. Obie asymptoty wyznaczają rodzaj niewidzialnej klatki, w której mieści się cały wykres, i pomagają szybko naszkicować hiperbolę bez tabelki wartości.

Funkcję wymierną można zapisać w postaci ogólniejszej, jako a/(x − p) + q, gdzie p i q są ustalonymi liczbami. Taki wzór opisuje wykres podstawowej hiperboli przesuniętej o p jednostek w poziomie i o q jednostek w pionie. Dziedziną takiej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych różnych od p, ponieważ to dla x = p mianownik się zeruje. Asymptota pionowa przesuwa się razem z dziedziną i ma równanie x = p, a asymptota pozioma ma równanie y = q. Środek symetrii hiperboli przesuwa się z początku układu współrzędnych do punktu (p, q). Na przykład dla f(x) = 2/(x − 3) + 1 dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych różnych od 3, bo dla x = 3 mianownik się zeruje, a wykres ma asymptoty x = 3 oraz y = 1.

Monotoniczność funkcji wymiernej a/x trzeba rozpatrywać osobno na każdej z dwóch gałęzi wykresu, ponieważ funkcja nie jest ciągła w całej dziedzinie i nie ma sensu porównywać wartości po obu stronach zera jako jednego przedziału. Gdy współczynnik a jest dodatni, funkcja jest malejąca zarówno w przedziale x < 0, jak i w przedziale x > 0. Gdy współczynnik a jest ujemny, funkcja jest rosnąca w obu tych przedziałach. Warto sprawdzić to na przykładzie, dla a = 4 wartości w punktach 1, 2, 4 wynoszą kolejno 4, 2, 1, więc funkcja rzeczywiście maleje wraz ze wzrostem x.

Funkcja wymierna postaci a/x nie ma miejsc zerowych, ponieważ ułamek o niezerowym liczniku nigdy nie przyjmuje wartości zero, niezależnie od tego, jaką wartość przyjmie x. Wykres takiej funkcji nigdy nie przecina osi x, co jest bezpośrednią konsekwencją istnienia asymptoty poziomej y = 0. Podobnie wykres nie przecina osi y, ponieważ x = 0 nie należy do dziedziny. Zbiorem wartości funkcji a/x jest zbiór liczb rzeczywistych różnych od zera, dokładnie tak samo jak dziedzina, co jest charakterystyczną cechą tej funkcji i wynika z jej symetrii względem prostej y = x.