Funkcja wykładnicza

Funkcją wykładniczą nazywamy funkcję określoną wzorem f(x) = a^x, gdzie a jest ustaloną liczbą dodatnią różną od jeden. Liczbę a nazywamy podstawą funkcji wykładniczej. Założenie, że a > 0, jest konieczne, ponieważ dla podstawy ujemnej wyrażenie a^x nie miałoby sensu dla wielu wartości x, na przykład dla x = 1/2 otrzymalibyśmy pierwiastek z liczby ujemnej. Założenie, że a ≠ 1, jest konieczne, ponieważ 1^x zawsze wynosi jeden, więc otrzymalibyśmy funkcję stałą, a nie funkcję wykładniczą w sensie właściwym. Przykładem funkcji wykładniczej jest f(x) = 2^x.

Dziedziną funkcji wykładniczej jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, ponieważ wyrażenie a^x ma sens dla każdej liczby x, dodatniej, ujemnej czy równej zero, o ile podstawa a jest dodatnia. Zbiorem wartości funkcji wykładniczej jest natomiast zbiór wszystkich liczb dodatnich, czyli przedział (0, +∞). Wynika to stąd, że dodatnia liczba podniesiona do dowolnej potęgi rzeczywistej zawsze pozostaje dodatnia, niezależnie od tego, jak duży lub jak mały jest wykładnik. Funkcja wykładnicza nigdy nie przyjmuje wartości zero ani wartości ujemnych, co jest jedną z jej najważniejszych własności i widać to bezpośrednio na wykresie, który zawsze leży nad osią x.

Zachowanie funkcji wykładniczej zależy w pełni od tego, czy podstawa a jest większa od jeden, czy mniejsza od jeden i większa od zera. Gdy a > 1, funkcja jest rosnąca na całej swojej dziedzinie, co oznacza, że wraz ze wzrostem x rosną też wartości funkcji, na przykład dla podstawy 2 wartości w punktach 1, 2, 3 wynoszą kolejno 2, 4, 8. Gdy 0 < a < 1, funkcja jest malejąca, na przykład dla podstawy 1/2 wartości w punktach 1, 2, 3 wynoszą kolejno 1/2, 1/4, 1/8. Ta zależność od wielkości podstawy jest kluczowa i trzeba ją zawsze sprawdzić, zanim określi się kierunek monotoniczności.

Wykres funkcji wykładniczej ma charakterystyczny kształt krzywej, która dla podstawy większej od jeden wznosi się coraz szybciej w prawą stronę, a po lewej stronie coraz bardziej zbliża się do osi x, nigdy jej nie przecinając. Prosta y = 0, czyli oś x, jest asymptotą poziomą wykresu funkcji wykładniczej. Niezależnie od wartości podstawy a, wykres zawsze przechodzi przez punkt (0, 1), ponieważ dowolna liczba dodatnia podniesiona do potęgi zero daje jeden. Drugim wygodnym punktem odniesienia jest punkt (1, a), ponieważ podstawa podniesiona do potęgi pierwszej daje samą siebie. Te dwa punkty wystarczą, by naszkicować przybliżony przebieg wykresu.

Praca z funkcją wykładniczą wymaga sprawnego posługiwania się własnościami potęg o wykładnikach rzeczywistych. Iloczyn dwóch potęg o tej samej podstawie to potęga o wykładniku będącym sumą wykładników, a iloraz dwóch takich potęg to potęga o wykładniku będącym różnicą wykładników. Potęga potęgi to potęga o wykładniku będącym iloczynem wykładników. Te własności pozwalają upraszczać i porównywać wyrażenia wykładnicze bez liczenia ich dokładnej wartości liczbowej. Na przykład 2^3 · 2^2 = 2^5 = 32, co można sprawdzić, mnożąc bezpośrednio 8 · 4. Znajomość tych reguł jest niezbędna przy rozwiązywaniu prostych równań wykładniczych.

Funkcja wykładnicza dobrze opisuje sytuacje, w których wielkość zmienia się o stały procent w jednostce czasu, a nie o stałą wartość. Jeśli pewna wielkość początkowa wynosi y₀ i rośnie o określony procent w każdym kolejnym okresie, to jej wartość po t okresach można zapisać jako y(t) = y₀ · a^t, gdzie podstawa a jest większa od jeden przy wzroście i mniejsza od jeden przy spadku. Na przykład kwota 1000 złotych rosnąca o 10 procent rocznie po dwóch latach wynosi 1000 · 1,1^2 = 1210 złotych. Analogicznie działa spadek wykładniczy, tylko z podstawą mniejszą od jeden, na przykład kwota 1000 złotych malejąca o 20 procent rocznie po dwóch latach wynosi 1000 · 0,8^2 = 640 złotych. Taki model nazywamy wzrostem lub spadkiem wykładniczym i różni się on istotnie od wzrostu liniowego, w którym przyrost w każdym okresie jest taki sam.