Funkcja wielomianowa

Wielomianem zmiennej x nazywamy wyrażenie będące sumą składników, z których każdy jest liczbą zwaną współczynnikiem pomnożoną przez potęgę x o wykładniku naturalnym, na przykład wyrażenie 2x³ − x² + 5. Poszczególne składniki takiej sumy nazywamy jednomianami, a największy wykładnik x, przy którym współczynnik jest różny od zera, nazywamy stopniem wielomianu. Wielomian 2x³ − x² + 5 ma stopień trzeci, ponieważ najwyższa potęga x z niezerowym współczynnikiem to x³. Funkcja liniowa jest wielomianem stopnia pierwszego, a funkcja kwadratowa wielomianem stopnia drugiego, więc obie te funkcje są w rzeczywistości szczególnymi przypadkami funkcji wielomianowej. Wielomian zerowy, czyli wielomian, w którym wszystkie współczynniki są zerami, jest jedynym wielomianem, któremu nie przypisuje się żadnego stopnia.

Wielomiany dodajemy i odejmujemy, redukując wyrazy podobne, czyli takie, które mają dokładnie tę samą potęgę zmiennej x. Aby dodać dwa wielomiany, sumujemy osobno współczynniki stojące przy tej samej potędze x, a wynikiem jest nowy wielomian złożony z tak otrzymanych sum. Na przykład dodając wielomian 3x² + 2x do wielomianu x² − 5x + 4, otrzymujemy 4x² − 3x + 4. Przy odejmowaniu wielomianów trzeba pamiętać o zmianie znaku każdego składnika odejmowanego wielomianu, co jest częstym źródłem błędów, gdy odejmowany wielomian ma więcej niż jeden składnik. Stopień sumy lub różnicy dwóch wielomianów jest zwykle równy większemu ze stopni składników, chyba że najwyższe potęgi się skrócą, wtedy stopień wyniku może być niższy.

Wielomiany mnożymy, wykorzystując rozdzielność mnożenia względem dodawania: każdy składnik pierwszego wielomianu mnożymy przez każdy składnik drugiego wielomianu, a następnie sumujemy wszystkie otrzymane iloczyny, redukując na końcu wyrazy podobne. Przy mnożeniu potęg tej samej zmiennej dodajemy wykładniki, na przykład x² · x³ = x⁵. Stopień iloczynu dwóch wielomianów jest zawsze równy sumie stopni obu czynników, w przeciwieństwie do dodawania, gdzie stopień wyniku mógł się zmniejszyć. Na przykład mnożąc wielomian stopnia drugiego przez wielomian stopnia pierwszego, zawsze otrzymamy wielomian stopnia trzeciego. Mnożenie wielomianów jest podstawą przechodzenia między postacią iloczynową a postacią ogólną wielomianu, co wykorzystuje się na przykład przy sprawdzaniu, czy dany rozkład na czynniki jest poprawny.

Wielomiany, podobnie jak liczby, można dzielić z resztą, a sposób zapisu przypomina pisemne dzielenie liczb. Dzieląc wielomian W przez wielomian niższego lub równego stopnia, szukamy najpierw takiego jednomianu, żeby po pomnożeniu go przez dzielnik i odjęciu od dzielonego wielomianu zniknął najwyższy wyraz, a potem powtarzamy tę procedurę dla kolejnych, coraz niższych wyrazów, aż stopień pozostałej reszty będzie mniejszy od stopnia dzielnika. Wynik takiego dzielenia zapisujemy jako W = dzielnik · iloraz + reszta, gdzie stopień reszty jest zawsze niższy od stopnia dzielnika. Szczególnie ważny jest przypadek dzielenia wielomianu przez dwumian postaci (x − a), ponieważ reszta z takiego dzielenia jest zawsze liczbą, a nie wielomianem wyższego stopnia, co wykorzystuje się przy sprawdzaniu pierwiastków wielomianu.

Twierdzenie Bézouta mówi, że reszta z dzielenia wielomianu W przez dwumian (x − a) jest równa wartości tego wielomianu dla argumentu a, czyli W(a). Z twierdzenia tego wynika bardzo praktyczny wniosek: liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W, czyli miejscem zerowym odpowiadającej mu funkcji, wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian W dzieli się bez reszty przez dwumian (x − a). Dzięki temu, żeby sprawdzić, czy dana liczba jest pierwiastkiem wielomianu, wystarczy obliczyć wartość wielomianu dla tej liczby, bez wykonywania całego dzielenia pisemnego. Jeśli natomiast wiemy już, że dana liczba jest pierwiastkiem, twierdzenie Bézouta gwarantuje, że dzielenie przez odpowiedni dwumian wyjdzie bez reszty, co pozwala obniżyć stopień wielomianu i szukać kolejnych pierwiastków w prostszym wielomianie.

Jeśli wielomian ma współczynniki całkowite, jego pierwiastków całkowitych szukamy wśród dzielników wyrazu wolnego, czyli ostatniego składnika wielomianu niezawierającego zmiennej x. Wynika to stąd, że gdy podstawimy pierwiastek całkowity do wzoru wielomianu, wszystkie składniki z x muszą się tak zsumować z wyrazem wolnym, aby dać zero, co jest możliwe tylko wtedy, gdy ten pierwiastek dzieli wyraz wolny. Na przykład dla wielomianu x³ − 2x² − 5x + 6 wyraz wolny to 6, więc pierwiastków całkowitych szukamy wśród liczb 1, −1, 2, −2, 3, −3, 6 oraz −6, sprawdzając każdą z nich przez podstawienie do wzoru. Ta metoda znacznie ogranicza liczbę liczb do sprawdzenia, zamiast testować przypadkowe wartości, i jest podstawowym narzędziem do znajdowania pierwszego pierwiastka wielomianu wyższego stopnia.

Rozłożenie wielomianu na czynniki oznacza zapisanie go jako iloczynu wielomianów niższego stopnia, najczęściej dwumianów postaci (x − pierwiastek). Gdy znajdziemy jeden pierwiastek wielomianu, na przykład metodą sprawdzania dzielników wyrazu wolnego, możemy podzielić wielomian przez odpowiedni dwumian i otrzymać wielomian o stopniu o jeden niższym, z którym pracuje się już łatwiej. Powtarzając ten proces, czyli znajdując kolejny pierwiastek i znowu dzieląc, można stopniowo rozłożyć cały wielomian na iloczyn czynników liniowych, o ile wszystkie jego pierwiastki są liczbami rzeczywistymi. Czasem po wydzieleniu kilku znanych pierwiastków zostaje czynnik kwadratowy, który rozkładamy dalej metodami znanymi z funkcji kwadratowej, na przykład obliczając jego wyróżnik. Rozkład na czynniki jest szczególnie przydatny przy rozwiązywaniu równań i nierówności wielomianowych, bo pozwala odczytać wszystkie pierwiastki naraz.

Krotność pierwiastka to liczba mówiąca, ile razy dany czynnik liniowy powtarza się w rozkładzie wielomianu na czynniki. Jeśli czynnik (x − a) występuje w rozkładzie dokładnie raz, mówimy, że a jest pierwiastkiem jednokrotnym, a wykres funkcji przecina w tym miejscu oś poziomą, przechodząc z jednej strony osi na drugą. Jeśli czynnik (x − a) występuje dwa razy, pierwiastek a jest dwukrotny, a wykres w tym miejscu tylko dotyka osi poziomej i zawraca, nie przechodząc na drugą stronę, podobnie jak w wierzchołku paraboli stycznej do osi x. Dla pierwiastków o krotności nieparzystej wykres zawsze przecina oś, a dla krotności parzystej zawsze się od niej odbija. Znając wszystkie pierwiastki wielomianu wraz z ich krotnościami oraz znak współczynnika przy najwyższej potędze, można naszkicować przybliżony przebieg wykresu funkcji wielomianowej, nawet bez obliczania dokładnych wartości pośrednich.