Funkcja logarytmiczna

Logarytmem o podstawie a z liczby b nazywamy taką liczbę c, dla której a podniesione do potęgi c daje b. Zapisujemy to jako log_a b = c. Żeby definicja miała sens, podstawa a musi być liczbą dodatnią różną od jeden, a liczba logarytmowana b musi być dodatnia. Na przykład log₂ 8 = 3, ponieważ 2^3 = 8. Podobnie log₁₀ 100 = 2, ponieważ 10^2 = 100. Logarytm jest więc niczym innym jak inaczej zapisanym pytaniem o wykładnik potęgi.

Funkcją logarytmiczną nazywamy funkcję określoną wzorem f(x) = log_a x, gdzie a jest ustaloną liczbą dodatnią różną od jeden. Funkcja ta jest odwrotna do funkcji wykładniczej o tej samej podstawie, co oznacza, że złożenie tych dwóch funkcji w dowolnej kolejności daje z powrotem argument początkowy. Jeśli funkcja wykładnicza przypisuje liczbie x wartość a^x, to funkcja logarytmiczna działa dokładnie odwrotnie, przypisuje liczbie a^x z powrotem liczbę x. Ta wzajemna odwrotność jest źródłem wszystkich analogii między obiema funkcjami, w tym symetrii ich wykresów.

Dziedziną funkcji logarytmicznej f(x) = log_a x jest zbiór wszystkich liczb dodatnich, czyli przedział (0, +∞). Wynika to bezpośrednio z definicji logarytmu, ponieważ liczba logarytmowana musi być dodatnia. Nie istnieje logarytm z liczby zero ani z liczby ujemnej, ponieważ żadna potęga liczby dodatniej a nie daje w wyniku zera ani liczby ujemnej. Dziedzina funkcji logarytmicznej odpowiada dokładnie zbiorowi wartości funkcji wykładniczej o tej samej podstawie, co jest naturalną konsekwencją bycia funkcjami wzajemnie odwrotnymi. Zależność działa też w drugą stronę, zbiorem wartości funkcji logarytmicznej jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, czyli dokładnie dziedzina funkcji wykładniczej. Przy rozwiązywaniu równań i nierówności logarytmicznych sprawdzenie dziedziny jest zawsze pierwszym i koniecznym krokiem.

Podobnie jak w przypadku funkcji wykładniczej, kierunek monotoniczności funkcji logarytmicznej zależy od wielkości podstawy a. Gdy a > 1, funkcja logarytmiczna jest rosnąca na całej swojej dziedzinie, co widać na przykładzie logarytmu o podstawie 2, gdzie dla argumentów 1, 2, 4 wartości funkcji wynoszą kolejno 0, 1, 2. Gdy 0 < a < 1, funkcja logarytmiczna jest malejąca, na przykład dla podstawy 1/2 wartości w punktach 1, 2, 4 wynoszą kolejno 0, −1, −2. Sprawdzenie wielkości podstawy jest więc konieczne, zanim odczyta się kierunek monotoniczności funkcji logarytmicznej.

Wykres funkcji logarytmicznej niezależnie od podstawy zawsze przechodzi przez punkt (1, 0), ponieważ logarytm z liczby jeden przy dowolnej podstawie wynosi zero. Drugim charakterystycznym punktem jest punkt (a, 1), ponieważ logarytm z podstawy przy tej samej podstawie wynosi jeden. Asymptotą pionową wykresu funkcji logarytmicznej jest oś y, czyli prosta x = 0, ponieważ wartości funkcji dążą do minus lub plus nieskończoności, gdy argument x zbliża się do zera od strony dodatniej. Cały wykres leży po prawej stronie osi y, ponieważ dziedziną funkcji są wyłącznie liczby dodatnie.

Ponieważ funkcja logarytmiczna i funkcja wykładnicza o tej samej podstawie są funkcjami wzajemnie odwrotnymi, ich wykresy są symetryczne względem prostej y = x. Oznacza to, że jeśli punkt (p, q) leży na wykresie funkcji wykładniczej, to punkt (q, p) leży na wykresie funkcji logarytmicznej o tej samej podstawie. Ta symetria tłumaczy, dlaczego punkt (0, 1) na wykresie funkcji wykładniczej odpowiada punktowi (1, 0) na wykresie funkcji logarytmicznej, oraz dlaczego asymptota pozioma y = 0 funkcji wykładniczej odpowiada asymptocie pionowej x = 0 funkcji logarytmicznej. Rysując jeden z wykresów, można odbić go względem prostej y = x i otrzymać drugi.

Logarytmy mają kilka podstawowych własności, które ułatwiają przekształcanie wyrażeń. Logarytm iloczynu dwóch liczb dodatnich równa się sumie logarytmów tych liczb, a logarytm ilorazu równa się różnicy logarytmów. Logarytm potęgi liczby dodatniej równa się wykładnikowi tej potęgi pomnożonemu przez logarytm liczby podnoszonej do potęgi. Ponadto logarytm z samej podstawy zawsze wynosi jeden, a logarytm z liczby jeden przy dowolnej podstawie zawsze wynosi zero. Na przykład log₂ 16 można policzyć jako log₂(2^4) = 4 · log₂ 2 = 4 · 1 = 4.