Funkcja liniowa

Każdą prostą na płaszczyźnie, w tym wykres funkcji liniowej, można zapisać równaniem ogólnym Ax + By + C = 0, gdzie A, B i C są ustalonymi liczbami, przy czym przynajmniej jedna z liczb A i B musi być różna od zera. To zapis szerszy niż sama funkcja liniowa, bo opisuje wszystkie proste na płaszczyźnie, łącznie z prostymi pionowymi, których nie da się zapisać żadnym wzorem funkcyjnym. Prosta pionowa ma postać x = c i nie jest wykresem żadnej funkcji, bo jednemu argumentowi odpowiadałoby wtedy nieskończenie wiele wartości. Wykresem funkcji liniowej jest zawsze prosta, która nie jest pionowa, dlatego w równaniu ogólnym odpowiadającym funkcji liniowej współczynnik B musi być różny od zera. Wtedy równanie można łatwo przekształcić do postaci kierunkowej, zostawiając po jednej stronie samo y.

Najczęściej używaną postacią funkcji liniowej jest postać kierunkowa, zapisywana jako y = ax + b, gdzie a nazywamy współczynnikiem kierunkowym, a b wyrazem wolnym. W tej postaci od razu widać, że dziedziną funkcji liniowej jest cały zbiór liczb rzeczywistych, ponieważ dla każdego x można obliczyć odpowiadające mu y bez żadnych ograniczeń. Wykresem funkcji liniowej jest zawsze linia prosta, dlatego do jej narysowania wystarczą dwa dowolne punkty spełniające wzór, choć w praktyce często wybiera się punkt przecięcia z osią pionową oraz miejsce zerowe. Szczególnym przypadkiem funkcji liniowej jest funkcja stała, gdy współczynnik a wynosi zero: wtedy wzór upraszcza się do y = b, a wykresem jest prosta pozioma.

Współczynnik kierunkowy a mówi, jak szybko i w którą stronę zmienia się wartość funkcji, gdy argument x rośnie o jeden. Jeśli a wynosi na przykład 3, to zwiększenie x o jeden zawsze powoduje wzrost y o 3, niezależnie od tego, w którym miejscu wykresu jesteśmy, bo prosta ma wszędzie taki sam kierunek. Im większa wartość bezwzględna współczynnika a, tym bardziej stroma jest prosta, czyli tym szybciej rośnie lub maleje wartość funkcji. Znak współczynnika a decyduje o kierunku nachylenia prostej: przy dodatnim a prosta wznosi się od lewej do prawej, a przy ujemnym a opada. Współczynnik kierunkowy można też wyznaczyć na podstawie dwóch znanych punktów prostej, dzieląc różnicę ich współrzędnych y przez różnicę odpowiadających im współrzędnych x.

Wyraz wolny b w postaci kierunkowej funkcji liniowej to wartość funkcji dla argumentu równego zero, czyli y = b dla x = 0. Geometrycznie oznacza to, że prosta o wzorze y = ax + b przecina oś pionową dokładnie w punkcie o współrzędnych (0, b). Dzięki temu wyraz wolny można od razu odczytać z wykresu, patrząc, w którym miejscu prosta przecina oś pionową, bez konieczności podstawiania czegokolwiek do wzoru. Jeśli wyraz wolny wynosi zero, prosta przechodzi przez początek układu współrzędnych, czyli przez punkt (0, 0). Warto odróżniać wyraz wolny od miejsca zerowego funkcji: wyraz wolny to wartość funkcji dla x równego zero, a miejsce zerowe to argument, dla którego wartość funkcji wynosi zero, więc są to dwie różne, choć powiązane liczby.

Monotoniczność funkcji liniowej zależy wyłącznie od znaku współczynnika kierunkowego a i jest taka sama w całej dziedzinie funkcji, w przeciwieństwie do wielu innych funkcji, które zmieniają monotoniczność w różnych przedziałach. Gdy współczynnik a jest dodatni, funkcja liniowa jest rosnąca na całej swojej dziedzinie, czyli wraz ze wzrostem x zawsze rośnie też y. Gdy współczynnik a jest ujemny, funkcja jest malejąca, czyli wraz ze wzrostem x wartość y zawsze maleje. Gdy współczynnik a wynosi dokładnie zero, funkcja nie jest ani rosnąca, ani malejąca, tylko stała, bo jej wartość nie zależy w ogóle od x. Ta prosta zależność sprawia, że funkcja liniowa jest dobrym punktem wyjścia do nauki monotoniczności, zanim przejdzie się do funkcji, w których trzeba badać monotoniczność osobno w różnych przedziałach.

Miejsce zerowe funkcji liniowej to argument x, dla którego wartość funkcji wynosi zero, czyli punkt przecięcia wykresu z osią poziomą. Aby je wyznaczyć, przyrównujemy wzór funkcji do zera i rozwiązujemy powstałe równanie względem x, co dla postaci kierunkowej sprowadza się do przekształcenia ax + b = 0. Jeśli współczynnik a jest różny od zera, funkcja liniowa ma zawsze dokładnie jedno miejsce zerowe, ponieważ prosta nierównoległa do osi poziomej przecina ją dokładnie w jednym punkcie. Jeśli natomiast współczynnik a wynosi zero, a wyraz wolny b jest różny od zera, funkcja w ogóle nie ma miejsca zerowego, bo jej wykres to prosta pozioma, która nigdy nie dotyka osi x. Gdy zarówno a, jak i b wynoszą zero, funkcja przyjmuje wartość zero dla każdego argumentu, więc każda liczba jest jej miejscem zerowym.

Dwie proste, będące wykresami funkcji liniowych zapisanych w postaci kierunkowej, są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy mają dokładnie taki sam współczynnik kierunkowy. Wynika to z tego, że współczynnik kierunkowy określa nachylenie prostej względem osi poziomej, a proste o tym samym nachyleniu nigdy się nie przecinają, chyba że pokrywają się całkowicie. Jeśli dodatkowo obie proste mają ten sam wyraz wolny, to nie są to dwie różne równoległe proste, tylko jedna i ta sama prosta zapisana dwukrotnie. Sprawdzenie równoległości sprowadza się więc do porównania samych współczynników kierunkowych, bez potrzeby analizowania wyrazów wolnych ani rysowania wykresu. Ta zasada jest przydatna na przykład przy sprawdzaniu, czy czworokąt narysowany na podstawie czterech punktów może być równoległobokiem.

Dwie proste nierównoległe do osi układu współrzędnych są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych wynosi −1. Oznacza to, że współczynniki kierunkowe prostych prostopadłych mają zawsze przeciwne znaki i są odwrotnościami swoich wartości bezwzględnych, na przykład prosta o współczynniku 2 jest prostopadła do prostej o współczynniku −1/2. Warunek ten wynika z geometrycznej zależności między kątem nachylenia prostej a jej współczynnikiem kierunkowym i pozwala sprawdzić prostopadłość dwóch prostych bez rysowania wykresu, wyłącznie na podstawie ich wzorów. Warto pamiętać o szczególnym przypadku: prosta pozioma, o współczynniku kierunkowym równym zero, jest prostopadła do prostej pionowej, której nie da się zapisać w postaci kierunkowej, więc do tej pary warunek z iloczynem współczynników nie stosuje się wprost.