Funkcja kwadratowa

Funkcję kwadratową zapisujemy w postaci ogólnej jako y = ax² + bx + c, gdzie a, b i c są ustalonymi liczbami, przy czym współczynnik a musi być różny od zera. Gdyby a wynosiło zero, wyraz z x² by zniknął i otrzymalibyśmy funkcję liniową, a nie kwadratową. Dziedziną funkcji kwadratowej jest zawsze cały zbiór liczb rzeczywistych, ponieważ dla każdego x da się obliczyć wartość wielomianu drugiego stopnia bez żadnych ograniczeń. Wykresem funkcji kwadratowej jest zawsze parabola, czyli krzywa w kształcie litery U, skierowana ramionami do góry lub do dołu w zależności od znaku współczynnika a. Postać ogólna jest wygodna do odczytania współczynników wprost, ale nie zawsze najlepiej pokazuje kluczowe własności funkcji, takie jak położenie wierzchołka.

Wyróżnikiem funkcji kwadratowej, oznaczanym grecką literą Δ, nazywamy liczbę obliczaną ze wzoru Δ = b² − 4ac. Wyróżnik decyduje o liczbie miejsc zerowych funkcji kwadratowej, czyli o liczbie punktów, w których parabola przecina oś poziomą. Gdy Δ jest dodatnia, funkcja ma dwa różne miejsca zerowe, a parabola przecina oś x w dwóch punktach. Gdy Δ wynosi dokładnie zero, funkcja ma jedno miejsce zerowe, zwane podwójnym, a parabola tylko dotyka osi x, nie przecinając jej. Gdy Δ jest ujemna, funkcja w ogóle nie ma miejsc zerowych, a cała parabola leży całkowicie powyżej osi x, jeśli a jest dodatnie, albo całkowicie poniżej, jeśli a jest ujemne. Same miejsca zerowe, gdy istnieją, obliczamy ze wzoru zawierającego pierwiastek z wyróżnika.

Postać kanoniczna funkcji kwadratowej to zapis y = a(x − p)² + q, gdzie punkt o współrzędnych (p, q) jest wierzchołkiem paraboli, czyli jej najniższym punktem, gdy a jest dodatnie, albo najwyższym, gdy a jest ujemne. Współrzędną p wierzchołka obliczamy ze wzoru p = −b/(2a), a współrzędną q najprościej obliczyć, podstawiając p do wzoru funkcji, choć istnieje też wzór q = −Δ/(4a). Parabola jest zawsze symetryczna względem prostej pionowej przechodzącej przez wierzchołek, dlatego znajomość wierzchołka pozwala od razu naszkicować cały kształt wykresu, odbijając jedną gałąź paraboli względem tej osi symetrii. Przejście od postaci ogólnej do kanonicznej wykonuje się metodą uzupełniania do pełnego kwadratu albo po prostu podstawiając obliczone wcześniej wartości p i q.

Gdy funkcja kwadratowa ma miejsca zerowe, czyli gdy jej wyróżnik jest nieujemny, można ją zapisać w postaci iloczynowej jako y = a(x − x₁)(x − x₂), gdzie x₁ oraz x₂ to miejsca zerowe funkcji. Jeśli wyróżnik wynosi zero i funkcja ma tylko jedno miejsce zerowe, w postaci iloczynowej oba czynniki są takie same, co zapisujemy jako a(x − x₀)². Postać iloczynowa jest szczególnie wygodna przy rozwiązywaniu nierówności kwadratowych, ponieważ od razu pokazuje, dla jakich argumentów wyrażenie jest dodatnie, a dla jakich ujemne, bez konieczności dodatkowych przekształceń. Gdy wyróżnik jest ujemny, funkcja nie ma miejsc zerowych, więc nie da się jej zapisać w postaci iloczynowej przy użyciu liczb rzeczywistych.

Znak współczynnika a decyduje o tym, w którą stronę skierowane są ramiona paraboli. Gdy a jest dodatnie, ramiona paraboli są skierowane do góry, a wierzchołek jest najniższym punktem wykresu. Gdy a jest ujemne, ramiona są skierowane w dół, a wierzchołek jest najwyższym punktem wykresu. Wartość bezwzględna współczynnika a decyduje natomiast o szerokości paraboli: im większa wartość bezwzględna a, tym parabola jest węższa i bardziej stroma, a im bliżej zera, tym parabola jest szersza i bardziej płaska. Na przykład parabola o współczynniku a równym 3 jest znacznie węższa i bardziej stroma niż parabola o współczynniku a równym 1/2. Zmiana wartości a wpływa nie tylko na kształt paraboli, ale zwykle także na położenie wierzchołka, ponieważ współrzędna p wierzchołka wynosi −b/(2a) i zależy od a. Jedynie gdy współczynnik b jest równy zero, wierzchołek pozostaje na osi y niezależnie od wartości a.

W przeciwieństwie do funkcji liniowej, funkcja kwadratowa nie jest monotoniczna na całej swojej dziedzinie, tylko zmienia monotoniczność dokładnie w wierzchołku paraboli. Gdy współczynnik a jest dodatni, funkcja jest malejąca dla argumentów mniejszych od p, czyli po lewej stronie wierzchołka, a rosnąca dla argumentów większych od p, czyli po prawej stronie wierzchołka. Gdy współczynnik a jest ujemny, sytuacja jest odwrotna: funkcja jest rosnąca po lewej stronie wierzchołka i malejąca po prawej. Argument p wierzchołka jest więc zawsze granicą między przedziałem, w którym funkcja rośnie, a przedziałem, w którym maleje. Ta własność wynika bezpośrednio z symetrii paraboli względem prostej pionowej przechodzącej przez wierzchołek i jest kluczowa przy wyznaczaniu wartości największej lub najmniejszej funkcji kwadratowej w danym przedziale.

Zbiór wartości funkcji kwadratowej zależy od znaku współczynnika a oraz od współrzędnej q wierzchołka. Gdy a jest dodatnie, parabola ma ramiona skierowane do góry, więc najmniejszą wartością funkcji jest q, osiągana w wierzchołku, a funkcja przyjmuje wszystkie wartości od q w górę, do nieskończoności. Zbiorem wartości jest wtedy przedział [q, ∞). Gdy a jest ujemne, parabola ma ramiona skierowane w dół, więc q jest największą wartością funkcji, a zbiorem wartości jest przedział (−∞, q]. Ta zależność pokazuje, dlaczego znalezienie wierzchołka jest tak istotne: sama współrzędna q wierzchołka od razu daje jedną z granic zbioru wartości, a znak a mówi, czy jest to granica dolna, czy górna.

Miejsca zerowe funkcji kwadratowej to dokładnie rozwiązania równania kwadratowego powstałego z przyrównania wzoru funkcji do zera, czyli równania ax² + bx + c = 0. Dlatego wszystko, co dotyczy liczby i wartości pierwiastków równania kwadratowego, przekłada się bezpośrednio na własności wykresu funkcji: dodatni wyróżnik oznacza dwa punkty przecięcia z osią x, zerowy wyróżnik oznacza jeden punkt styczności, a ujemny wyróżnik oznacza brak przecięcia. Ta sama zależność działa też w drugą stronę: znajomość wierzchołka i kształtu paraboli pozwala od razu ocenić, ile rozwiązań ma odpowiadające jej równanie, bez liczenia wyróżnika. Rozwiązywanie równań kwadratowych i badanie funkcji kwadratowej to więc dwa spojrzenia na to samo zagadnienie, algebraiczne i geometryczne.