Ciągi liczbowe

Ciągiem liczbowym nazywamy funkcję, która każdej liczbie naturalnej n przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę rzeczywistą, nazywaną n-tym wyrazem ciągu i oznaczaną aₙ. Ciąg różni się od zwykłej funkcji tym, że jego dziedziną nie są wszystkie liczby rzeczywiste, tylko wyłącznie liczby naturalne, zwykle zaczynając od jedynki. Zapis a₁, a₂, a₃ i tak dalej oznacza kolejno pierwszy, drugi, trzeci wyraz ciągu. Ciąg może być skończony, gdy ma ustaloną liczbę wyrazów, na przykład dziesięć, albo nieskończony, gdy wyrazów jest nieskończenie wiele, po jednym dla każdej liczby naturalnej. W szkole częściej pracuje się z ciągami nieskończonymi.

Najwygodniejszym sposobem opisania ciągu jest podanie wzoru ogólnego, czyli wzoru na n-ty wyraz w zależności od numeru n. Taki wzór pozwala od razu obliczyć dowolny wyraz ciągu, bez konieczności wyznaczania wyrazów poprzedzających. Na przykład wzór aₙ = 2n + 1 opisuje ciąg, którego kolejne wyrazy dla n = 1, 2, 3 wynoszą 3, 5, 7. Żeby obliczyć na przykład setny wyraz tego ciągu, wystarczy podstawić n = 100, co od razu daje wynik 201, bez wypisywania wcześniejszych dziewięćdziesięciu dziewięciu wyrazów. Wzór ogólny jest więc najbardziej efektywnym sposobem opisu ciągu, gdy interesuje nas konkretny, odległy wyraz.

Innym sposobem opisania ciągu jest podanie wzoru rekurencyjnego, w którym każdy kolejny wyraz definiuje się na podstawie wyrazu lub wyrazów poprzednich, razem z podaniem wartości pierwszego wyrazu lub kilku pierwszych wyrazów. Na przykład ciąg określony warunkami a₁ = 3 oraz aₙ₊₁ = aₙ + 5 dla n ≥ 1 ma kolejne wyrazy 3, 8, 13, 18, ponieważ za każdym razem dodajemy 5 do poprzedniego wyrazu. W odróżnieniu od wzoru ogólnego, żeby obliczyć dziesiąty wyraz takiego ciągu, trzeba obliczyć po kolei wszystkie wyrazy poprzedzające. Wzór rekurencyjny dobrze opisuje sytuacje, w których naturalne jest mówienie o zmianie względem poprzedniego stanu.

Ciąg można też opisać po prostu wypisując kolejno jego wyrazy, na przykład 2, 4, 6, 8, 10, jeśli jest on skończony albo jeśli chcemy pokazać jego początkowy fragment. Ten sposób jest najmniej formalny, ale bywa przydatny, gdy trzeba szybko zilustrować regularność albo sprawdzić hipotezę o wzorze ogólnym. Mając kilka pierwszych wyrazów, często można odgadnąć zarówno wzór ogólny, jak i wzór rekurencyjny opisujący dany ciąg, choć trzeba pamiętać, że to samo wypisanie kilku początkowych liczb teoretycznie może odpowiadać różnym ciągom, jeśli dalsze wyrazy nie są jednoznacznie określone. Dlatego pełny opis ciągu wymaga podania wzoru, a nie tylko kilku wyrazów.

Ciąg nazywamy rosnącym, jeśli każdy kolejny wyraz jest większy od poprzedniego, czyli aₙ₊₁ > aₙ dla każdej liczby naturalnej n. Ciąg nazywamy malejącym, jeśli każdy kolejny wyraz jest mniejszy od poprzedniego. Ciąg, w którym wszystkie wyrazy są sobie równe, nazywamy stałym. Sprawdzenie monotoniczności na kilku pierwszych wyrazach nie wystarcza, ponieważ ciąg może zachowywać się inaczej dla dużych n, dlatego pełne sprawdzenie polega na zbadaniu znaku różnicy aₙ₊₁ − aₙ dla dowolnego n. Nie każdy ciąg jest monotoniczny, na przykład ciąg naprzemienny, w którym wyrazy na przemian rosną i maleją, nie jest ani rosnący, ani malejący.

Ciąg nazywamy ograniczonym z góry, jeśli istnieje taka liczba M, że każdy wyraz ciągu jest mniejszy lub równy M, niezależnie od tego, jak duże jest n. Ciąg nazywamy ograniczonym z dołu, jeśli istnieje taka liczba m, że każdy wyraz ciągu jest większy lub równy m. Ciąg, który jest ograniczony jednocześnie z góry i z dołu, nazywamy po prostu ograniczonym. Na przykład ciąg o wyrazie ogólnym aₙ = 1/n jest ograniczony, ponieważ wszystkie jego wyrazy mieszczą się w przedziale [0, 1]. Ograniczoność jest własnością niezależną od monotoniczności, ciąg może być ograniczony i niemonotoniczny albo monotoniczny i nieograniczony.