Ciąg geometryczny

Ciągiem geometrycznym nazywamy ciąg liczbowy o wyrazach różnych od zera, w którym iloraz każdego wyrazu i wyrazu go poprzedzającego jest stały i taki sam dla każdej pary kolejnych wyrazów. Tę stałą liczbę nazywamy ilorazem ciągu geometrycznego i oznaczamy literą q. Formalnie ciąg (aₙ) jest geometryczny, jeśli aₙ₊₁ / aₙ = q dla każdej liczby naturalnej n, przy czym żaden wyraz nie może być równy zero, bo dzielenie przez zero nie ma sensu. Na przykład ciąg 3, 6, 12, 24 jest ciągiem geometrycznym o ilorazie q = 2, ponieważ każdy kolejny wyraz jest dwa razy większy od poprzedniego.

Znając pierwszy wyraz ciągu geometrycznego a₁ oraz jego iloraz q, można wyznaczyć dowolny wyraz tego ciągu, korzystając ze wzoru aₙ = a₁ · q^(n−1). Wzór ten wynika stąd, że aby dojść od pierwszego wyrazu do n-tego, trzeba pomnożyć przez iloraz q dokładnie n − 1 razy. Na przykład dla ciągu o pierwszym wyrazie 3 i ilorazie 2 piąty wyraz wynosi 3 · 2^4 = 3 · 16 = 48. Warto zauważyć podobieństwo tego wzoru do wzoru funkcji wykładniczej, w którym zmienna x występuje w wykładniku, tutaj rolę tę pełni numer wyrazu pomniejszony o jeden.

W ciągu geometrycznym kwadrat każdego wyrazu, z wyjątkiem pierwszego, równa się iloczynowi wyrazu poprzedzającego go i wyrazu po nim następującego. Dla trzech kolejnych wyrazów aₙ₋₁, aₙ, aₙ₊₁ zachodzi więc równość aₙ² = aₙ₋₁ · aₙ₊₁. Oznacza to, że wartość bezwzględna wyrazu środkowego jest średnią geometryczną wartości bezwzględnych wyrazów sąsiednich. Na przykład dla trzech kolejnych wyrazów 2, 6, 18 zachodzi 6² = 36, co rzeczywiście równa się iloczynowi 2 · 18. Ta własność pozwala szybko sprawdzić, czy trzy dane liczby mogą być kolejnymi wyrazami pewnego ciągu geometrycznego.

Zachowanie ciągu geometrycznego silnie zależy od wartości ilorazu q. Gdy q > 1, a pierwszy wyraz jest dodatni, ciąg jest rosnący i jego wyrazy rosną coraz szybciej. Gdy 0 < q < 1, a pierwszy wyraz jest dodatni, ciąg jest malejący i jego wyrazy zbliżają się do zera. Gdy iloraz q jest ujemny, wyrazy ciągu na przemian są dodatnie i ujemne, więc taki ciąg w ogóle nie jest monotoniczny, mimo że nadal jest ciągiem geometrycznym. Gdy q = 1, wszystkie wyrazy ciągu są sobie równe. Zawsze więc trzeba osobno sprawdzić znak i wielkość ilorazu, zanim wyciągnie się wniosek o monotoniczności.

Sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego, oznaczaną Sₙ, można obliczyć wzorem Sₙ = a₁ · (1 − q^n) / (1 − q), o ile q ≠ 1. Gdy q = 1, wzór ten nie ma sensu, bo prowadziłby do dzielenia przez zero, ale wtedy wszystkie wyrazy są równe a₁, więc suma n wyrazów wynosi po prostu Sₙ = n · a₁. Na przykład dla ciągu o pierwszym wyrazie 3 i ilorazie 2 suma pierwszych czterech wyrazów wynosi 3 · (1 − 2^4) / (1 − 2) = 3 · (−15) / (−1) = 45.

Gdy |q| < 1, kolejne wyrazy ciągu geometrycznego stają się coraz bliższe zeru, a suma nieskończenie wielu takich wyrazów dąży do pewnej konkretnej, skończonej liczby. Sumę tę obliczamy wzorem S = a₁ / (1 − q). Jeśli natomiast |q| ≥ 1, wyrazy ciągu nie maleją do zera, więc suma nieskończenie wielu wyrazów nie istnieje jako liczba skończona. Na przykład dla ciągu o pierwszym wyrazie 1 i ilorazie 1/2 suma wszystkich nieskończenie wielu wyrazów wynosi 1 / (1 − 1/2) = 2. Warunek na wartość bezwzględną ilorazu jest tu absolutnie kluczowy i zawsze trzeba go sprawdzić przed zastosowaniem wzoru.

Ciąg geometryczny można traktować jako funkcję wykładniczą określoną wyłącznie na liczbach naturalnych zamiast na wszystkich liczbach rzeczywistych. Wzór aₙ = a₁ · q^(n−1) ma dokładnie taką samą strukturę jak wzór funkcji wykładniczej, w którym zmienna występuje w wykładniku, a różnica polega jedynie na tym, że dziedziną ciągu są tylko liczby naturalne, a nie cały zbiór liczb rzeczywistych. Dlatego procesy wzrostu i spadku wykładniczego, na przykład kapitału rosnącego o stały procent co miesiąc, można opisywać zarówno wzorem funkcji wykładniczej dla czasu ciągłego, jak i wzorem ciągu geometrycznego dla kolejnych, oddzielnych okresów, na przykład kolejnych miesięcy.