Ciąg arytmetyczny

Ciągiem arytmetycznym nazywamy ciąg liczbowy, w którym różnica między każdym wyrazem a wyrazem go poprzedzającym jest stała i taka sama dla każdej pary kolejnych wyrazów. Tę stałą liczbę nazywamy różnicą ciągu arytmetycznego i oznaczamy literą r. Formalnie ciąg (aₙ) jest arytmetyczny, jeśli aₙ₊₁ − aₙ = r dla każdej liczby naturalnej n. Na przykład ciąg 2, 5, 8, 11, 14 jest ciągiem arytmetycznym o różnicy r = 3, ponieważ każdy kolejny wyraz jest o 3 większy od poprzedniego. Żeby sprawdzić, czy dany ciąg jest arytmetyczny, wystarczy policzyć różnice kolejnych par wyrazów i sprawdzić, czy są one takie same.

Znając pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego, oznaczany a₁, oraz jego różnicę r, można wyznaczyć dowolny wyraz tego ciągu bez wypisywania wszystkich poprzednich. Wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego ma postać aₙ = a₁ + (n − 1)r. Wynika on stąd, że aby dojść od pierwszego wyrazu do n-tego, trzeba dodać różnicę r dokładnie n − 1 razy, bo tyle jest kroków między pierwszym a n-tym wyrazem. Na przykład dla ciągu o pierwszym wyrazie 2 i różnicy 3 dziesiąty wyraz wynosi 2 + 9 · 3 = 2 + 27 = 29. Ten sam wzór można też zapisać, wychodząc od dowolnego znanego wyrazu, a nie tylko od pierwszego.

W ciągu arytmetycznym każdy wyraz, z wyjątkiem pierwszego, jest średnią arytmetyczną wyrazu poprzedzającego go i wyrazu po nim następującego. Oznacza to, że dla dowolnych trzech kolejnych wyrazów aₙ₋₁, aₙ, aₙ₊₁ zachodzi równość aₙ = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁) / 2. Własność tę można też zapisać jako 2aₙ = aₙ₋₁ + aₙ₊₁. Na przykład dla trzech kolejnych wyrazów 5, 9, 13 środkowy wyraz 9 rzeczywiście jest średnią arytmetyczną liczb 5 i 13. Ta własność jest bardzo przydatna przy sprawdzaniu, czy trzy dane liczby mogą być kolejnymi wyrazami pewnego ciągu arytmetycznego.

Monotoniczność ciągu arytmetycznego zależy wyłącznie od znaku jego różnicy r. Gdy różnica r jest dodatnia, ciąg arytmetyczny jest rosnący, ponieważ każdy kolejny wyraz otrzymujemy, dodając do poprzedniego liczbę dodatnią. Gdy różnica r jest ujemna, ciąg jest malejący, ponieważ każdy kolejny wyraz jest mniejszy od poprzedniego. Gdy różnica r wynosi zero, wszystkie wyrazy ciągu są sobie równe i ciąg jest stały. W odróżnieniu od dowolnych ciągów liczbowych, o monotoniczności ciągu arytmetycznego można więc rozstrzygnąć natychmiast, patrząc wyłącznie na znak liczby r, bez konieczności analizowania kolejnych wyrazów osobno.

Sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, oznaczaną Sₙ, można obliczyć bez dodawania wszystkich wyrazów po kolei. Jeśli znamy pierwszy wyraz a₁ i n-ty wyraz aₙ, sumę tę obliczamy jako Sₙ = n(a₁ + aₙ) / 2. Wzór ten wynika z ustawienia wyrazów ciągu w parach od początku i od końca, których suma jest zawsze taka sama. Jeśli zamiast n-tego wyrazu znamy tylko różnicę r, można skorzystać z równoważnego wzoru, w którym aₙ zastępujemy wyrażeniem a₁ + (n − 1)r. Na przykład suma pierwszych 10 wyrazów ciągu 2, 5, 8 i tak dalej wynosi 10 · (2 + 29) / 2 = 155.

Ciąg arytmetyczny dobrze opisuje sytuacje, w których pewna wielkość zmienia się o stałą wartość w regularnych odstępach, na przykład liczba miejsc w kolejnych rzędach sali, gdzie każdy rząd ma o dwa miejsca więcej niż poprzedni, albo wysokość oszczędności rosnących o tę samą kwotę co miesiąc. Rozpoznanie, że opisana sytuacja jest ciągiem arytmetycznym, pozwala od razu skorzystać z gotowych wzorów na wyraz ogólny i na sumę, zamiast liczyć wszystko krok po kroku. Warto przy tym zawsze najpierw ustalić, co jest pierwszym wyrazem, a co różnicą, ponieważ pomylenie tych dwóch wielkości prowadzi do błędnego wyniku, mimo poprawnie zastosowanego wzoru.